[2020MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告x]

if fa*fb>0 error('

if fa*fb>0 error(' 两端函数值为同号');

姓名 实验报告成绩

评语：

指导教师(签名)

年 月 日

说明：指导教师评分后，实验报告交院(系)办公室保存。

实验一方程求根

一、 实验目的

用各种方法求任意实函数方程f(x)0在自变量区间［a，b］ 上,或某一点 附近的实根。并比较方法的优劣。

二、 实验原理

、二分法

b a

x

对方程f(x)0在［a，b］内求根。将所给区间二分，在分点 2判断

b a

x

是否f(x)0 ;若是，则有根 2。否则，继续判断是否f(a)?f(x) 0,若 是，则令b x,否则令a x。否则令a x。重复此过程直至求出方程f(x) ° 在［a,b］中的近似根为止。

、迭代法

将方程f(x) °等价变换为x=? ( x )形式，并建立相应的迭代公式xk 1 9( x )。

、牛顿法

若已知方程 的一个近似根x°，则函数在点x°附近可用一阶泰勒多项式

Pl(x) f(X°) f'(X0)(X X。)来近似，因此方程f(x) °可近似表示为

f (Xk)

根X1,然后将X1作为X。代入上式。迭代公式为：

Xk 1 X0 f'(Xk)

o

f (Xo)

f(Xo) f'(Xo)(X X)0设f'(Xo) 0,则x Xo f'(Xo)。取x作为原方程新的近似

实验设备：

MATLAB 7.0 软件

三、

四、结果预测(1)xn=0.09033(2) X5=0.09052(3) X2

四、

结果预测

(1)

xn=0.09033

(2) X5=0.09052

(3) X2 =0,09052

五、

实验内容

(1)、

在区间[0,1]

上用二分法求方程

10X 2 0的近似根，要求误差不超

过05

103

O

f (Xk)

(2)、x°似根。取初值X0 0，用迭代公式Xk

(2)、

x°

似根。

取初值X0 0，用迭代公式Xk 1

3

要求误差不超过0.5 10。

x°

f'(Xk)，求方程ex 10x 2 0的近

(3)、

取初值X0

0，用牛顿迭代法求方程

eX 10x 2 0的近似根。要求误差

3

不超过0.5 10。

六、实验步骤与实验程序

(1)二分法

第一步：在MATLAB 7.0软件，建立一个实现二分法的 MATLABS数文件

agui_bisect.m 女口下：

fun cti on x=agui_bisect(fname,a,b,e)

%fname为函数名，a,b为区间端点，e为精度

fa=feval(fname,a); % 把a端点代入函数，求fa

fb=feval(fname,b); % 把b端点代入函数，求fb

end %如果 fa*fb>0 ，则输出两端函数值为同号

k=0

x=(a+b)/2

while(b-a)>(2*e) % 循环条件的限制

fx=feval(fname,x);% 把 x 代入代入函数，求 fx

if fa*fx<0% 如果fa与fx同号，则把x赋给b,把fx赋给fb

b=x;

fb=fx;

else

%如果fa与fx异号，则把x赋给a,把fx赋给fa

a=x;

fa=fx;

end

k=k+1

% 计算二分了多少次

x=(a+b)/2 % 当满足了一定精度后,跳出循环,每次二分,都得新的区

间断点a和b,则近似解为x=(a+b)/2

end

第二步：在MATLAB^令窗口求解方程f(x)=eAx+10x-2=0，即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2')

>> x=agui_bisect(fun,0,1,0.5*10A-3)

第三步：得到计算结果，且计算结果为

k

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

(2)迭代法

第一步：第一步：在 MATLAB 7.0软件，建立一个实现迭代法的 MATLAB

函数文件 agui_main.m 女口下：

fun cti on x=agui_ma in( fname,xO,e)

%fname为函数名dfname的函数fname的导数，x0为迭代初值

%点为精度，N为最大迭代次数(默认为100)

N=100;

x=x0; %把x0赋给x，再算x+2*e赋给x0

x0=x+2*e;

k=0;

while abs(xO-x)>e&k<N %循环条件的控制：x0-x的绝对值大于某一精度，

和迭代次数小于N

k=k+1 %显示迭代的第几次

x0=x;

x=(2-exp(x0))/10 % 迭代公式

disp(x)% 显示 x

end

if k==N warning(' 已达到最大迭代次数');end % 如果K=N则输出已达到最

大迭代次数

第二步：在MATLAB^令窗口求解方程f(x)=eAx+10x-2=0，即输入如下

>>fu n=inlin e('exp(x)+10*x-2')

>> x=agui_ma in(fun, 0,1,0.5*10八-3)

第三步：得出计算结果，且计算结果为

k

x

1

2

3

4

5

以下是结果的屏幕截图

3)牛顿迭代法

第一步 ：第一步：在 MATLAB7.0 软件，建立一个实现牛顿迭代法的 MATLAB 函数文件 =agui_newton.m 如下：

function x=agui_newton(fname,dfname,x0,e)

%fname为函数名dfname的函数fname的导数，x0为迭代初值

%点为精度，N为最大迭代次数(默认为100)

N=100;

x=x0; %把x0赋给x，再算x+2*e赋给x0

x0=x+2*e;

k=0;

while abs(x0-x)>e&k<N % 循环条件的控制： x0-x 的绝对值大于某一精度， 和迭代次数小于 N

k=k+1 % 显示迭代的第几次

x0=x;

x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);% 牛顿迭代公式

disp(x)% 显示 x

end

if k==N warning(' 已达到最大迭代次数');end % 如果K=N则输出已达到最

大迭代次数

第二步：在MATLAB^令窗口求解方程f(x)=eAx+10x-2=0，即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2')

>> dfun=inline('exp(x)+10')

>> x=agui_newto n(fun ,dfu n,0,0.5*10八-3)

第三步：得出结果，且结果为

k

x

1

2

3

以下是结果的屏幕截图

七、 实验结果

（1）xii=0.09033 （ 2）X5=o.o9O52 （ 3）X2 =0,09052

八、 实验分析与结论

由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可 以得出这样的结论：二分法要循环 k=11次，迭代法要迭代k=5次，牛顿法 要迭代k=2次才能达到精度为0.5 10 3的要求，而且方程ex 10x 2 0的精确 解经计算，为0.0905250,计算量从大到小依次是：二分法,迭代法,牛顿法。

　由此可知，牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。而这三种方法中，牛 顿法不仅计算量少，而且精确度高。从而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快。

　可是迭代法是局部收敛的，其收敛性与初值 x0有关。二分法收敛虽然是速

度最慢，但也有自己的优势，可常用于求精度不高的近似根。迭代法是逐次 逼近的方法，原理简单,但存在收敛性和收敛速度的问题。对与不同的题目， 可以从三种方法的优缺点考虑用哪一种方法比较好。

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