杭州老师九下大招笔记

　九年 ঃ （ 下）

　大招 fi

　---- 王杭᎟（大佬坑）

　- 相似必备定理

　fi

　大招

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　B A P A C P

　 B

　D

　T

　 B A

　D C P

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 B

　 A C

　 D

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大 flⴤfi 供

　A

　 B C

　D

　大flⴤfi供

　- 1 1

　2345

　模型

　fi

　大招

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　- 轨迹问题

　fi

　大招

　大flⴤfi供

　 大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 如图， O 是Rt△ ABC

　斜4 AB 的中点， CH

　 AB 于 H ，延fi CH K D ，使得 CH

　 DH ， F

　为 CO 上任意一点，䗷 B 作 BE

　 AF

　于

　E

　，½ 接

　DE 交

　BC

　于 G

　．则下列㔃䇪‰䈟的是 (

　)

　A． OA

　 OB

　 OC

　B．  AOC

　 2 ABC

　 C． AB

　 2 FG

　D．  CAF

　  CDE

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　3

　3

　 如图所 ⽪ ，⸙形 ABCD 的4

　AB  3 ， RtBEF 的⸙䀂亦点 E 在对䀂㓯 AC 上，另一亦点

　 F 在4 CD 上，@  BEF 的一个¾䀂为 30 

　，则 BC 的fi是 ( )

　 A． B． 3

　C． 3 或 ． D． 6

　大flⴤfi供

　3

　3

　大flⴤfi供

　大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 如图，已ª AB =12 ，A C 、 D 在 AB 上，且 AC=DB =2 ，A P 从A C ⋯㓯¼ CD 向A D 䘀动 ( 䘀动到A D 停‡ ) ，以 AP 、 BP 为ᯌ4在 AB 同侧ᯌ 㞠 Rt △ APE 和 㞠 Rt △ PBF ，½接 EF ，取 EF 中A G ，则 EF 中A G fi动 䐟径fi为

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 在ᯌ形 ABCD 中，A P 在 AD 上， AB =2 ， AP =1 ，将三䀂 ᶯ

　ᯌ䀂亦A放在A P 处，三䀂 ᶯ

　两ᯌ䀂4分别㜭与 AB 、 BC 4ᯌ交于A E 、 F ，½接 EF ．将三䀂 ᶯ

　从 位$开始，‰A P 亪 "ᯌ䖜，当A E 与A A 䟽合 停‡，在䘉个䗷¼中，

　∠ PEF

　大小%否发R变化？䈧䈤ᯌ ⨶ $；从开始到停‡，㓯¼ EF 中A所㓿䗷 䐟㓯fi%多少？

　D

　 C

　大flⴤfi供

　A

　P

　E

　B

　F

　大flⴤfi供

　 如图 1 ，已ªfl{形 OABC 4fi为 2 ，亦A A 、 C 分别在 x 、 y 䖤 fl半䖤上，

　M

　%

　BC

　中A． P (0, m ) %㓯¼

　OC

　上一动A （ C

　Aƒ外 ），ᯌ㓯

　PM

　交

　AB

　延 fi㓯于A D ．

　（ 1 ）

　fiA

　D

　坐ƒ（$含

　m

　代数式$ ⽪ ）；

　 （ 2 ）䇮䗷 P 、 M 、 B 三 A 抛fl㓯与 x 䖤fl半䖤交于A E ， 䗷A O 作ᯌ㓯 ME

　垂㓯，垂fl为

　H （如图

　2 ）． 当A

　P

　从

　O

　向

　C

　䘀动 ， A

　H

　也‰之䘀动．䈧ᯌ接写出A

　H

　所㓿䗷 䐟fi（不必写䀓ㆄ䗷¼ ）．

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　- 抛物线焦点与i fi 线

　 fi

　大招

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　抛fl㓯：

　y 1 x 2

　4

　

　1 ，A

　F

　 0,

　2 

　， ½ᯌ 抛fl㓯上 A 到 F

　®} 于到 x

　䖤 ®} ．

　大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　如图，已ª抛fl㓯与坐ƒ䖤分别交于

　A   2, 0   、 B  2, 0 

　、 C  0, 1 

　三A，䗷坐ƒ原 A

　O ᯌ㓯 y  kx 与抛fl㓯交于 M 、 N 两 A，分别䗷 A C 、 D  0, 2 

　作平㹼于 x 䖤 ᯌ

　 㓯 l 1 、l 2 ．

　 （1）

　fi抛fl㓯对应 二ᯌ函数 䀓fl式；

　（2）

　fi½以 ON 为ᯌ径 圆与ᯌ㓯l 1

　ᯌ切；

　 （3）

　fi 㓯¼

　MN

　fi

　 $ k $ ⽪ 

　，并½ ᯌ

　M 、 N

　两A 到ᯌ㓯 l 2

　®} 之和 于㓯¼

　 大 flⴤfi 供

　MN fi．

　大flⴤfi供

　 在平䶒ᯌ䀂 坐ƒ fi中， A

　P 为抛fl㓯 y 1 x 2 上 一 A，A

　4 A  0,1 

　再 y 䖤上． A

　P 在什么位

　$ ， PA   PB ᴰ 小？䗷 A B 作ᯌ㓯 l :

　y  1 垂㓯 BH  ，BH  与抛fl㓯交于 A P ，P 在 P  处

　PA  PB ᴰ 小，则A P  即为所fi．

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　- 海盗埋宝升级

　fi

　大招

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　- 胡不归与阿氏圆

　fi

　大招

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　2    

　1、 AB  mCD ---ᯌ㓯㊫ ①在平䶒ᯌ䀂坐ƒfi中，A

　A  1, 0 

　， B  0, 2 

　， P 为㓯 ¼ OB 上一动A，fi 2

　2

　 BP 

　PA ᴰ

　小值，并

　P 坐ƒ；

　②在平䶒ᯌ䀂坐 ƒfi 中， A

　A  1,

　0 

　，B  0, 3  ，P 为㓯¼

　OB 上一动 A ，fi 1

　BP  PA ᴰ小

　值，并fifl A

　P 坐 ƒ ； 

　3

　BP

　 5

　PA ᴰ 小值呢？

　

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　2、 AB  mCD ---圆㊫

　 ③如图，⊙O 半径为 2，A

　 A  2,

　2 

　, B

　  2,

　2 

　,P % ⊙O 上一 A， fi BP

　 2 AP 2

　ᴰ小值

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　④在平䶒ᯌ䀂 坐 ƒfi中，⊙ O 半径为 2 ，A

　A  4, 4 

　, B  4, 0 

　,A P %⊙ O 上一动A，fi

　1 PB  PA 2

　 ᴰ小值．

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大 flⴤfi 供

　 在平䶒ᯌ䀂 坐 ƒfi xOy 中，抛fl㓯 y  x 2

　 2mx  m 2 

　m 亦A为 C ．  （ 1 ）

　fiA

　C

　坐 ƒ（ $ 含

　m

　代数 式$ ⽪ ）；

　（ 2 ）ᯌ㓯 y 

　x 

　2 与抛fl㓯交于 A 、 B 两A，A A 在抛fl㓯 对ƒ 䖤左侧．

　① @

　P

　为ᯌ㓯

　OC

　上一动 A，fi △ APB

　䶒〟；

　②抛fl㓯 对ƒ 䖤与ᯌ㓯 AB 交于 A M ，作 A B 关于ᯌ㓯 MC 对 ƒA B 

　．以 M 为圆心，

　 MC

　为半径 圆上存在一 A

　Q ，使得 QB

　"  2 QB

　2

　 值ᴰ小，则䘉个ᴰ小值为

　大flⴤfi供

　大 flⴤfi 供

　 在平䶒ᯌ䀂 坐 ƒfi xOy 中，抛fl㓯 y  x 2

　 2mx  m 2 

　m 亦A为 C ．  （ 1 ）

　fiA

　C

　坐 ƒ（ $ 含

　m

　代数 式$ ⽪ ）；

　（ 2 ）ᯌ㓯 y 

　x 

　2 与抛fl㓯交于 A 、 B 两A，A A 在抛fl㓯 对ƒ 䖤左侧．

　① @

　P

　为ᯌ㓯

　OC

　上一动 A，fi △ APB

　䶒〟；

　②抛fl㓯 对ƒ 䖤与ᯌ㓯 AB 交于 A M ，作 A B 关于ᯌ㓯 MC 对 ƒA B 

　．以 M 为圆心，

　 MC

　为半径 圆上存在一 A

　Q ，使得 QB

　"  2 QB

　2

　 值ᴰ小，则䘉个ᴰ小值为

　大flⴤfi供

　在平䶒ᯌ䀂坐ƒfi中，将二ᯌ函数 y

　 ax 2 （ a 0 ）

　图 向右平fi 1 个单位，再向下平fi

　 2

　个单位，得到如图所 ⽪ 抛fl㓯， 抛fl㓯与

　x

　䖤交 于A

　A

　，

　B

　（A

　A

　在A

　B

　左侧），

　OA  1 ，㓿䗷 A A 一ᯌ函数 y

　

　kx 

　b （ k   0 ）

　图 与 y 䖤fl半䖤交 于A C ，且与抛

　 fl㓯 另一个交A为 D ， ABD 䶒〟为 5 ．

　（1）fi抛fl㓯和一ᯌ函数 䀓fl式． （ 2 ）@A P 为 x 䖤上任意一 A， 在上一䰞 㔃䇪下，fi PE  3 PA 5

　 ᴰ小值． 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大招 fi - -

　瓜豆原 理

　大flⴤfi供

　大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　- 角度存在性问题

　fi

　大招

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　  

　 如图，抛fl㓯 y  x 2

　 bx  c 与ᯌ㓯 y  1

　x  2

　2

　交于 C，D 两 A ，其中 A

　C 在 y 䖤上， A D 坐ƒ为

　3,

　7

　

　．A

　P %

　y 䖤右侧抛fl㓯上一动 A ，䗷 A

　P 作 PE ⊥ x

　2

　䖤于A E ，

　

　 交 CD 于A F ．

　（1）fi抛fl㓯 䀓fl式； （ 2 ）@存在A P ，使  PCF

　 

　45 

　，䈧ᯌ接写出ᯌ应 A

　P 坐 ƒ．

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 如图，抛fl㓯 y  x 2  mx   m 1与 x 䖤交于 A

　A  x , 0  ， B  x , 0  ， x  x ，与 y 䖤

　 交于A C  0, c  ，且┑fl x 2

　 x 2

　 x x  7 ． 1 2 1 2

　1 2 1 2

　（1）fi抛fl㓯 䀓fl式； （2）在抛fl㓯上㜭不㜭找到一A P，使 @不㜭，䈧䈤ᯌ ⨶ $．

　  POC

　

　 PCO ？@㜭，䈧fi出A P 坐ƒ；

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　如图 ，A A 与A B 坐ƒ 分别 %  1, 0 

　，  5, 0 

　，A P ᯌ 䀂 坐 ƒfi内 一个 动 A．

　 （1）使  APB 

　30 

　A P $

　个；

　 （2）@A P 在 y 䖤上，且  APB 

　30 

　，fi┑fl ᶑ 件 A P 坐 ƒ；

　（3）当A P 在 y 䖤上fi动 ，  APB %否$ ᴰ 大值 ？@$，fiA P 坐ƒ，并䈤ᯌ

　 APB ᴰ 大 ⨶ $；@⋑$， 也䈧䈤 ᯌ ⨶ $．

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　如图 ，A A 与A B 坐ƒ 分别 %  1, 0 

　，  5, 0 

　，A P ᯌ 䀂 坐 ƒfi内 一个 动 A．

　（1）使  APB 

　30 

　A P $

　个；

　（2）@A P 在 y 䖤上，且  APB 

　30 

　，fi┑fl ᶑ 件 A P 坐 ƒ；

　（3）当A P 在 y 䖤上fi动 ，  APB %否$ ᴰ 大值 ？@$，fiA P 坐ƒ，并䈤ᯌ

　 APB ᴰ 大 ⨶ $；@⋑$， 也䈧䈤 ᯌ ⨶ $．

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 如图 1 ，二ᯌ函数 y  ax 2

　 bx  c  图 与 x 䖤分别交于 A ， B 两A， 与 y 䖤交于A C ．@

　tan

　

　ABC

　

　3 ，一元二ᯌ {¼

　ax 2

　 

　bx

　

　c

　

　0

　为：

　x

　

　 8 ， x

　

　2

　． 1 2 （1）fi二ᯌ函数 䀓fl式； （ 2 ）ᯌ㓯 l ‰A A 以 AB 为fl始位 $亪 "ᯌ 䖜到 AC 位$停 ‡， l 与㓯 ¼ BC 交于A D ，

　P % AD 中 A．

　①fi A

　P

　䘀动 䐟¼ ；

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　② 如图 2 ，䗷A D 作 DE 垂ᯌ x 䖤于 A E ，作 DF

　

　AC

　所在ᯌ㓯于A F ，½㔃 PE ，

　PF ，在 l 䘀动䗷¼中，  EPF

　 大小%否改变？䈧䈤ᯌ ⨶ $；

　（ 3 ）在（ 2 ）

　ᶑ 件下，½㔃 EF ，fi

　周 ᴰ小值．

　 大flⴤfi供

　PEF

　大flⴤfi供

　- 等腰三角形存在性

　fi

　大招

　大flⴤfi供

　 A B A B

　大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 

　已 ª ᯌ 㓯

　y   3x  3 与 坐 ƒ 䖤 分 别 交 于 A A ， B ， A P 在 抛 fl 㓯

　 y   1 x 3

　3 2  4 上，㜭使△ABP 

　为 㞠三䀂形 A P 个数$（ ）

　 A．3 个

　B．4 个 C．5 个

　D．6 个 大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 如图， 已ª 二ᯌ函数 y

　

　ax 2

　 bx 

　3 图 交 x 䖤于 A  A  1, 0  ， B  3, 0，交 y 䖤于 A C ．

　 （1）fi䘉个二ᯌ函数 $ ½式 ；

　（2）ᯌ㓯 x 

　m 分别交ᯌ㓯 BC 和抛fl㓯于 A M ， N ，当

　㞠三䀂形 ，ᯌ接

　写出 m 值．

　大flⴤfi供

　BMN

　大flⴤfi供

　大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　- ፳ ፳ 角三角形存在性

　fi

　大招

　大flⴤfi供

　B

　A B A 大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 如图， AB  6 ， O 是 AB 的中点，直㓵 l 㔅䗽点 O ， 1 120 ，P 是直㓵 l 上一点．当

　△APB 为直fl三fl形时， AP ．

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 如图，在平䶒ᯌ䀂坐ƒfi中，抛fl㓯 y

　

　ax 2

　 bx  c （ a   0 ）与 x 䖤ᯌ交于 A ， B 两A，

　与 y 䖤ᯌ交于 A C ，ᯌ㓯 y

　且 BC  5  kx  n （ k  0 ）㓿䗷 B ， C 两A，已 ª

　A(1, 0) ， C(0, 3) ， （ 1 ）分别fiᯌ㓯

　BC

　和抛fl㓯

　䀓fl式（关fi式）；

　 （ 2 ）在抛fl㓯 对ƒ䖤上%否存在A P ，使得以 B ， C ， P 三A为亦A 三䀂形%ᯌ䀂三䀂形？存在，䈧fi出A P 坐 ƒ；@不 存在，䈧䈤ᯌ ⨶ $．

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大招 fi

　- 等腰፳ ፳ 角三角形存在性

　大flⴤfi供

　 大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　- 平行四边形存在性

　fi

　大招

　大招 fi

　- 平行四边形存在性

　大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 D 2

　A D 1

　 D 3

　大flⴤfi供

　B

　C

　大flⴤfi供

　 大 flⴤfi 供

　D 2

　A

　D 1

　B

　C

　D 3

　大flⴤfi供

　 如图，抛fl㓯 y   1 x 2  3 x  2 与 x 䖤交于 A A ，A B ，与 y 䖤交于 A C ，A D 与A

　2 2

　C 关于 x 䖤对 ƒ，A P % x 䖤上 一个动 A． 䇮 A P 坐 ƒ 为  m, 0 

　，䗷A P 作 x 䖤

　 垂㓯 l 交抛fl㓯 于A Q ．

　（1）

　fiA A ，A B ，A C 坐 ƒ；

　（2）

　fiᯌ㓯 BD 䀓fl式；

　（3）当A P 在㓯¼ OB 上䘀动 ，ᯌ㓯 l 交 BD 于A M ，ƒ探y m 为何值 ，四4 形 CQMD %平㹼四4形；

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 已ª抛fl㓯

　y 

　

　1 x2

　2

　 bx 

　c 与 y 䖤交于 A C ，与 x 䖤 两个交A分别为 

　A  4, 0 

　，

　B  1, 0  ． （1）fi抛fl㓯 䀓fl式；

　（2）

　已ªA E 在 x 䖤上 ，A F 在抛fl㓯上，% 否 存在以 A ， C ， E ， F 为亦A 四

　4形%平㹼四4形？@存在，䈧ᯌ接写出A E 坐ƒ；@不存在，䈧䈤ᯌ ⨶ $．

　 大flⴤfi供

　y

　C

　A

　O

　B

　x

　大flⴤfi供

　大招 fi

　- 特殊平行四边形存在性

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　- 全等三角形存在性

　fi

　大招

　大flⴤfi供

　 A A 1 A 2

　B C B" C"

　 A 3 A 4

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 如图，在平䶒ᯌ䀂坐ƒfi中，抛fl㓯 y  ax 2

　 bx  4 与 x 䖤 一个 交A 为

　A  2, 0  ，

　与 y 䖤 交 A为 C ，对 ƒ 䖤% x  3 ，对 ƒ 䖤与 x 䖤交于 A B ．

　（1）fi抛fl㓯 函 数$½ 式；

　（ 2 ）@A D 在 x 䖤上，在抛fl㓯上%否存在A P ，使得 △ PBD ≌△ PBC

　 ᯌ接写出A P 坐 ƒ；@ 不存在，䈧䈤ᯌ ⨶ $．

　 ？@存在，

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　- 相似三角形存在性

　fi

　大招

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　 如图，在ᯌ䀂 形 ABCD 中， AD ，  ABC

　

　90 

　， AB 

　8 ， AD 

　3 ， BC 

　4 ，

　 A P 为 AB 4上一动A，@△ PAD 与△ PBC 数 %（

　）

　A．1

　个

　B．2

　个C．3 个 D．4 个

　%ᯌ似三䀂形，则┑fl ᶑ 件 A P 个

　C

　D

　 A P B

　 大flⴤfi供

　BC

　大flⴤfi供

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　- 二次函数与将军饮马

　fi

　大招

　大flⴤfi供

　大 flⴤfi 供

　大flⴤfi供

　 如图，抛fl㓯 y 1 x 2

　2

　 bx  c 与ᯌ㓯 y 1 x 

　3 分别ᯌ交于 A ， B 两A，且fl抛fl㓯与 x

　2

　䖤 一个交 A为 C ，½ 接 AC ， BC ．已ª

　（1）fi抛fl㓯 䀓fl式．

　A  0, 3   ， C  3, 0  ．

　（ 2 ）在抛fl㓯对 ƒ 䖤 l 上找 一A M ，使 MB

　 MC  值ᴰ大，并fi出䘉个ᴰ大值．

　 大flⴤfi供

　大flⴤfi供

　3

　如图 1 ，已ª二ᯌ函数 y

　

　mx 2

　 3mx   27 m

　4

　 图 与 x 䖤交于 A ， B 两A（A A 在A B

　 3

　左侧），亦 A

　D

　和A

　B 关于䗷 A

　A ᯌ㓯 l

　：

　y

　

　 x 

　对ƒ．

　3 2 （ 1 ）fi A ， B 两A 坐ƒ及二ᯌ函数䀓fl式．

　（ 2 ）如图 2 ，作ᯌ㓯 AD ，䗷 A B 作 AD 平㹼㓯交ᯌ㓯 l 于A E ，@A P ᯌ㓯 AD 上

　一动 A，A Q %ᯌ㓯 AE 上 一A．½接 DQ ， QP ， PE ，ƒfi DQ 

　QP 

　PE ᴰ小值；@不存在，䈧䈤ᯌ ⨶ $．

　 大flⴤfi供

　3

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