第6讲　二元一次方程组（解析版）

　战 备战 2021 年中考数学总复习一轮讲练测 第 二 单元

　方程（组）与不等式（组）

　第 第 6 讲

　二元一次方程组

　1.了解二元一次方程及方程组得概念； 2.掌握代入消元法和加减消元法，会解二元一次方程组； 3.能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，解决生活中的实际问题.

　 1．（2020 春•杭州期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（

　）

　A．x 2 +y＝1 B．x﹣ ＝1 C． ﹣y＝1 D．xy﹣1＝0 【思路点拨】根据二元一次方程的定义的内容逐个判断即可． 【答案】解：A、是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C、是二元一次方程，故本选项符合题意； D、是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义的内容是解此题

　的关键． 2．（2020•嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中无法消元的是（

　）

　A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3 【思路点拨】方程组利用加减消元法变形即可． 【答案】解：A、①×2﹣②可以消元 x，不符合题意； B、②×（﹣3）﹣①可以消元 y，不符合题意； C、①×（﹣2）+②可以消元 x，不符合题意； D、①﹣②×3 无法消元，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键． 3．（2019•海港区一模）关于 x，y 的方程组 的解是 ，其中 y 的值被盖住了，不过仍能求出 p，则 p 的值是（

　）

　A．﹣

　B．

　C．﹣

　D．

　【思路点拨】将 x＝1 代入方程 x+y＝3 求得 y 的值，将 x、y 的值代入 x+py＝0，可得关于 p 的方程，可求得 p． 【答案】解：根据题意，将 x＝1 代入 x+y＝3，可得 y＝2， 将 x＝1，y＝2 代入 x+py＝0，得：1+2p＝0， 解得：p＝﹣ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的概念，根据方程组的解会准确将方程的解代入是前提，严格遵循解方程的基本步骤求得方程的解是关键． 4．（2020•嘉兴模拟）已知 是方程组 的解，则 a+b 的值是（

　）

　A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 【思路点拨】把 x 与 y 的值代入方程组求出 a+b 的值即可． 【答案】解：把 代入方程组 得 ，

　①+②得：3（a+b）＝﹣3， 则 a+b＝﹣1． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 5．（2020 春•泗水县期末）方程 3x+2y＝18 的正整数解的个数是（

　）

　A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】要求二元一次方程 3x+2y＝18 的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数即可． 【答案】解：由已知，得 y＝ ＝9﹣ ． 要使 x，y 都是正整数，必须满足 18﹣3x 是 2 的倍数且 18﹣3x 是正数． 根据以上两个条件可知，合适的 x 值只能是 x＝2，x＝4， 相应的 y＝6，y＝3 所以有 2 组，分别为 ， ． 故选：B． 【点睛】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有正整数值，再求出另一个未知数的值． 6．（2020•沈河区一模）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图 1、图 2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的系数与相应的常数项．把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 ，类似地，图 2 所示的算筹图我们可以表述为（

　）

　A．

　B．

　 C．

　D．

　【思路点拨】由图 1 可得 1 个竖直的算筹数算 1，一个横的算筹数算 10，每一横行是一个方程，第一个数是 x 的系数，第二个数是 y 的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图 2 的表达式． 【答案】解：第一个方程 x 的系数为 2，y 的系数为 1，相加的结果为 11；第二个方程 x的系数为 4，y 的系数为 3，相加的结果为 27，所以可列方程为 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是列二元一次方程组，读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结果是解题的关键． 7.（2019 春•西湖区校级月考）已知关于 x，y 的方程组 ，给出下列结论：

　① 是方程组的解； ②无论 a 取何值，x，y 的值始终互为相反数； ③当 a＝1 时，方程组的解也是方程 x+y＝3﹣a 的解； ④若 z＝﹣xy+1，则 z 存在最小值，且最小值为 0． 其中正确的个数为（

　）

　A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【思路点拨】①将 x＝2，y＝﹣1 代入检验即可做出判断； ②将 x 和 y 分别用 a 表示出来，然后求出 x+y＝3 来判断； ③将 a＝1 代入方程求出方程的解，代入方程中检验即可； ④把 x，y 代入 z＝﹣xy+即可得到结论． 【答案】解：①将 x＝2，y＝﹣1 代入方程组得：

　， 由①得 a＝﹣1，由②得 a＝﹣3，故①不符合题意． ②解方程 ，得：x＝ ，y＝

　所以 x+y＝2，故无论 a 取何值，x，y 的值始终互为相反数，故②不符合题意． ③将 a＝1 代入 x+y＝3﹣a 代入方程 x+y＝2，方程左边＝2 右边，是方程的解，故③符合题意． ④z＝﹣xy+1＝ ﹣ a+ ＝ （a 2 ﹣12a+36）＝ （a﹣6）

　2 ， ∵ ＞0，

　∴z 存在最小值，且最小值为 0．故④符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

　 1. 二元一次方程（组）的概念 （1）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程. (2) 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组． 2.解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法，还有一种常用的解法是换元法． (1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用 含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组得解. （2）加减法：通过将方程组中两个方程的某一未知数的系数转化为相同或相反数，再把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组得解. 3．二元一次方程组的实际应用：

　列方程组解应用题的步骤：①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程组 ；⑤求出方程组的解；⑥验根并作答．

　 【考点一

　二元一次方程组的有关概念】

　例 1．（2020 春•嘉兴期末）若关于 x，y 的方程（m﹣1）x |m| ﹣y＝2 是一个二元一次方程，则 m 的值为 ﹣1 ． 【思路点拨】根据二元一次方程定义可得：|m|＝1，且 m﹣1≠0，再解即可． 【答案】解：由题意得：|m|＝1，且 m﹣1≠0，

　解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 【变式训练】

　1. （2020 春•仙居县期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（

　）

　A．

　B．

　 C．

　D．

　【思路点拨】根据二元一次方程组的定义对各个选项中的方程组进行判断即可． 【答案】解：A、 是分式方程，故该选项错误． B、符合二元一次方程组的定义； C、有三个未知数，是三元一次方程组，故该选项错误． D、第二个方程的 x 2 +y 2 ＝12 二次的，故该选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，满足组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都是一次的整式方程是二元一次方程组． 2. （2020 春•东平县期末）已知关于 x、y 的方程 x2m﹣ n ﹣ 2 +y m+n+1 ＝6 是二元一次方程，则 m，n 的值为（

　）

　A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m＝ ，n＝﹣

　D．m＝﹣ ，n＝

　【思路点拨】直接利用二元一次方程的定义得出关于 m，n 的方程组求出答案． 【答案】解：∵关于 x、y 的方程 x2m﹣ n ﹣ 2 +y m+n+1 ＝6 是二元一次方程， ∴ ， 解得 ． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．

　【考点二

　二元一次方程组的解法】

　例 2. （2020 春•滨江区期末）解方程组：

　（1）

　； （2）

　． 【思路点拨】（1）利用代入消元法解答即可； （2）原方程组整理后，再利用加减消元法解答即可． 【答案】解：（1）

　， 把②代入①得：2（y﹣1）+y＝4，解得：y＝2， 把 y＝2 代入①，得：x＝2﹣1＝1， ∴原方程组的解为：

　； （2）原方程组整理得：

　， ①+2×2，得：11x＝22，解得 x＝2， 把 x＝2 代入②，得：8﹣y＝5，解得：y＝3， 故原方程组的解为：

　． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 【变式训练】

　1． （2020•衡水模拟）用加减法解方程组 时，如果消去 y，最简捷的方法是（

　）

　A．①×4﹣②×3 B．①×4+②×3 C．②×2﹣① D．②×2+① 【思路点拨】利用加减消元法判断即可． 【答案】解：用加减法解方程组 时，如果消去 y，最简捷的方法是②×2+①． 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 2．（2020 春•遂宁期末）如果关于 x，y 的方程组 的解是二元一次方程 3x﹣2y＝2的一个解，那么 m 的值为（

　）

　A．14 B．﹣26 C．26 D．﹣14 【思路点拨】根据三个方程有相同的解，可知方程组 的解也是 x+2y＝m 的解．先解方程组求 x、y，再代入求出 m． 【答案】解：由于方程组 的解是二元一次方程 3x﹣2y＝2 的一个解， ∴方程组 的解也是 x+2y＝m 的解． 解方程组 ，得

　当 x＝﹣6，y＝﹣10 时， m＝x+2y＝﹣6﹣20 ＝﹣26． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程的解．掌握二元一次方程组的解法，是解决本题的关键． 3．（2019•天津）方程组 的解是（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【思路点拨】运用加减消元法解答即可． 【答案】解：

　， ①+②得，x＝2， 把 x＝2 代入①得，6+2y＝7，解得 ， 故原方程组的解为：

　． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的基本解法是解答本题的关键． 4.（2020•宿迁二模）若 +|2a﹣b|＝0，则（b﹣a）

　2015 ＝ ﹣1 ． 【思路点拨】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到 a 与 b 的值，代入原式计算即可得到结果．

　【答案】解：∵ +|2a﹣b|＝0， ∴ ， 解得：

　， 则原式＝﹣1， 故答案为：﹣1 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5.（2020 春•石阡县期末）定义运算“*”，规定 x*y＝ax 2 +by，其中 a，b 为常数，且 1*2＝5，2*1＝6，则 2*3＝ 10 ． 【思路点拨】已知两等式利用题中新定义化简，求出 a 与 b 的值，再利用新定义求出所求式子的值即可． 【答案】解：根据题中新定义得：

　， ①×4﹣②得：7b＝14，即 b＝2， 把 b＝2 代入①得：a＝1， 则 2*3＝4×1+2×3＝10， 故答案为：10 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【考点三

　二元一次方程组的解的特征】

　例 3. （2020 春•遂宁期末）已知方程组 与 有相同的解，则 a、b 的值为（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【思路点拨】根据两个方程组的解相同，可重组一个只含 x、y 的方程组，求出它们的解，再把解代入含 a、b 的方程，得方程组并求出 a、b 的值． 【答案】解：∵方程组 与 有相同的解， ∴方程组 的解与方程组 的解也相同．

　解方程组 得：

　， 把 代入方程组 ，得 ， 解得：

　， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是重组方程组求出 x、y 的值． 【变式训练】

　1．（2019•上城区二模）已知二元一次方程组 的解是 ，则括号上的方程可能是（

　）

　A．y﹣4x＝﹣5 B．2x﹣3y＝﹣13 C．y＝2x+5 D．x＝y﹣1 【思路点拨】将解代入各个方程，可求解． 【答案】解：将解代入各个方程， A、3﹣4×（﹣2）＝11≠﹣5， B、2×（﹣2）﹣3×3＝﹣ 13 C、3≠2×（﹣2）+5 D、﹣2≠3﹣1 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程的解的定义是本题的关键． 2.（2020 春•江干区期末）关于 x、y 的二元一次方程组 的解为 ，则关于 m，n 的二元一次方程组 的解为（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【思路点拨】利用关于 x、y 的二元一次方程组 的解为 得到 m﹣n＝3，m+n＝﹣5，从而求出 m、n 即可． 【答案】解：∵关于 x、y 的二元一次方程组 的解为 ， 把关于 m，n 的二元一次方程组 看作关于（m﹣n）和（m+n）的二

　元一次方程组， ∴ ， ∴关于 m，n 的二元一次方程组 为 ． 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解本题的关键． 3．（2019•富顺县三模）如果关于 x、y 的方程组 的解满足 3x+y＝5，则 k 的值＝ 10 ． 【思路点拨】首先解方程组，利用 k 表示出 x、y 的值，然后代入 3x+y＝5，即可得到一个关于 k 的方程，求得 k 的值． 【答案】解：

　， ①+2×②得：5x＝24﹣3k， 则 x＝ ， ①×2﹣②得：5y＝3+4k， 解得：y＝ ， 则 + ＝5， 解得：k＝10． 故答案是：10． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于 x、y 的方程组是关键． 4．（2019 春•西湖区校级月考）已知关于 x、y 的方程组 给出下列结论：

　① 是方程组的解； ②无论 a 取何值，x，y 的值都不可能互为相反数； ③当 a＝1 时，方程组的解也是方程 x+y＝4﹣a 的解； ④x，y 的值都为自然数的解有 4 对，其中正确的有（

　）

　A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④ 【思路点拨】①将 x＝5，y＝﹣1 代入检验即可做出判断； ②将 x 和 y 分别用 a 表示出来，然后求出 x+y＝3 来判断； ③将 a＝1 代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可； ④有 x+y＝3 得到 x、y 都为自然数的解有 4 对． 【答案】解：①将 x＝5，y＝﹣1 代入方程组得：

　， 由①得 a＝2，由②得 a＝ ，故①不正确． ②解方程

　①﹣②得：8y＝4﹣4a 解得：y＝ ， 将 y 的值代入①得：x＝ ， 所以 x+y＝3，故无论 a 取何值，x、y 的值都不可能互为相反数，故②正确． ③将 a＝1 代入方程组得：

　， 解此方程得：

　， 将 x＝3，y＝0 代入方程 x+y＝3，方程左边＝3＝右边，是方程的解，故③正确． ④因为 x+y＝3，所以 x、y 都为自然数的解有 ， ， ， ．故④正确． 则正确的选项有②③④． 故选：D． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 5.（2020 春•华亭市期末）在解关于 x，y 的方程组 时，老师告诉同学们正确的解是 ，小明由于看错了系数 c，因而得到的解为 ，试求 a+b+c 的值． 【思路点拨】将两对 x 与 y 的值代入方程组中第一个方程，求出 a，b 的值，将第一对 x与 y 的值代入方程组第二个方程求出 c 的值即可． 【答案】解：将 x＝3，y＝﹣2；x＝﹣2，y＝2 分别代入方程组第一个方程得：

　，

　①+②×2 得：a＝4， 将 a＝4 代入②得：b＝5， 将 x＝3，y＝﹣2 代入方程组第二个方程得：3c+14＝8，即 c＝﹣2， 则 a+b+c＝7． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 6.（2020 春•临邑县期末）已知关于 x，y 的方程组

　（1）请直接写出方程 x+2y﹣6＝0 的所有正整数解； （2）若方程组的解满足 x+y＝0，求 m 的值； （3）无论实数 m 取何值，方程 x﹣2y+mx+5＝0 总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中 x 恰为整数，m 也为整数，求 m 的值． 【思路点拨】（1）将 x 做已知数求出 y，即可确定出方程的正整数解． （2）将 x+y＝0 与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得 x、y 的值，再代入第二个方程中可得 m 的值； （3）当含 m 项为零时，取 x＝0，代入可得固定的解； （4）求出方程组中 x 的值，根据 x 恰为整数，m 也为整数，确定 m 的值． 【答案】解：（1）方程 x+2y﹣6＝0，x+2y＝6， 解得：x＝6﹣2y， 当 y＝1 时，x＝4；当 y＝2 时，x＝2， 方程 x+2y﹣6＝0 的所有正整数解为：

　， ； （2）由题意得：

　，解得 ， 把 代入 x﹣2y+mx+5＝0，解得 m＝﹣ ； （3）x﹣2y+mx+5＝0， （1+m）x﹣2y＝﹣5， ∴当 x＝0 时，y＝2.5， 即固定的解为：

　， （4）

　，

　①+②得：2x﹣6+mx+5＝0， （2+m）x＝1， x＝ ， ∵x 恰为整数，m 也为整数， ∴2+m 是 1 的约数， 2+m＝1 或﹣1， m＝﹣1 或﹣3． 【点睛】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． 【考点四

　二元一次方程组的应用】

　例 4. （2020•江干区模拟）某校举办“迎亚运“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出 3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品． （1）如图 1，若大长方形的长和宽分别为 45 米和 30 米，求小长方形的长和宽． （2）如图 2，若大长方形的长和宽分别为 a 和 b ①直接写出 1 个小长方形周长与大长方形周长之比； ②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的 ，试求 的值．

　【思路点拨】（1）根据题意和图形可以列出相应的方程组，从而可以求得小长方形的长和宽； （2）①根据图形可以列出相应的方程组，然后两个方程相加变形即可求得 1 个小长方形周长与大长方形周长之比； ②根据题意和图形可知 a＝2x+y，b＝x+2y， ，从而可以求得 的值． 【答案】解：（1）设小长方形的长和宽分别为 x 米、y 米，

　，得 ， 答：小长方形的长和宽分别为 20 米、5 米； （2）① ， ①+②，得 3（x+y）＝a+b， ∴ ， ∴1 个小长方形周长与大长方形周长之比是：

　， 即 1 个小长方形周长与大长方形周长之比是 1：3； ②∵作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的 ， ∴ ， ∴ ， ∴（2x+y）（x+2y）＝9xy， 化简，得 （x﹣y）

　2 ＝0， ∴x﹣y＝0， ∴x＝y， ∴ ＝1． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答． 【变式训练】

　1．（2019 春•沂源县期末）4 辆板车和 5 辆卡车一次能运 27 吨货，10 辆板车和 3 车卡车一次能运货 20 吨，设每辆板车每次可运 x 吨货，每辆卡车每次能运 y 吨货，则可列方程组（

　）

　A．

　B．

　 C．

　D．

　【思路点拨】此题中的等量关系为：

　①4 辆板车运货量+5 辆卡车运货量＝27 吨；②10 辆板车运货量+3 辆卡车运货量＝20 吨． 根据相等关系就可设未知数列出方程． 【答案】解：根据 4 辆板车运货量+5 辆卡车运货量＝27 吨，得方程 4x+5y＝27； 根据 10 辆板车运货量+3 辆卡车运货量＝20 吨，得方程 10x+3y＝20． 可列方程组为 ． 故选：C． 【点睛】由关键性词语“4 辆板车和 5 辆卡车一次能运 27 吨货”，“10 辆板车和 3 车卡车一次能运货 20 吨”，找到等量关系是解决本题的关键． 2．（2020•渝中区校级模拟）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身 25 个，或制盒底 40 个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有 36 张白铁皮，设用 x 张制盒身，y 张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列方程组中符合题意的是（

　）

　A．

　B．

　 C．

　D．

　【思路点拨】根据题意可知，本题中的相等关系是：（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数＝36，列方程组即可． 【答案】解：设用 x 张制作盒身，y 张制作盒底， 根据题意得 ， 故选：C． 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”． 3．（2020•宁波）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为（

　）

　A．

　B．

　 C．

　D．

　【思路点拨】直接利用“绳长＝木条+4.5； 绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案． 【答案】解：设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为：

　． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 4．（2019•杭州模拟）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱．问合伙人、羊价各是多少？ 设合伙人为 x 人，羊价为 y 钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：

　甲同学：

　乙同学：

　请你判断哪位同学所列方程组正确，并帮助解答． 【思路点拨】设合伙人为 x 人，羊价为 y 钱，根据“若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【答案】解：设合伙人为 x 人，羊价为 y 钱， 依题意，得：

　， ∴甲同学列的方程组正确， 解该方程组，得：

　． 答：合伙人为 21 人，羊价为 150 钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（2020 春•东阳市期末）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．

　（1）下表是工作人员两次领取纸板数的记录：

　日期 正方形纸板（张）

　长方形纸板（张）

　第一次 560 940 第二次 420 1002 ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？ （2）若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为 1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值． 【思路点拨】（1）①设做成 x 个竖式纸盒，y 个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是 5 的倍数，可判断第二次记录错误； ②由第一次记录，列出方程组，可求解； （2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为 1：3，可得 ，可求解． 【答案】解：（1）①第二次记录错误， 理由如下：设做成 x 个竖式纸盒，y 个横式纸盒， 则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是 5 的倍数， ∴第二次记录有误； ②由题意可得：

　， 解得：

　答：做成 40 个竖式纸盒，260 个横式纸盒； （2）由题意可得：

　， 解得：x＝3y， ∴x：y＝3， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为 3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键． 6．（2019 春•金乡县期末）为了让学生能更加了解温州历史，某校组织七年级师生共 480 人

　参观温州博物馆．学校向租车公司租赁 A、B 两种车型接送师生往返，若租用 A 型车 3辆，B 型车 6 辆，则空余 15 个座位；若租用 A 型车 5 辆，B 型车 4 辆，则 15 人没座位． （1）求 A、B 两种车型各有多少个座位？ （2）若 A 型车日租金为 350 元，B 型车日租金为 400 元，且租车公司最多能提供 7 辆 B型车，应怎样租车能使座位恰好坐满且租金最少，并求出最少租金． 【思路点拨】（1）设每辆 A 型车有 x 个座位，每辆 B 型车有 y 个座位，根据“若租用 A型车 3 辆，B 型车 6 辆，则空余 15 个座位；若租用 A 型车 5 辆，B 型车 4 辆，则 15 人没座位”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租 m 辆 A 型车，n 辆 B 型车，根据师生人数＝45×租用 A 型车辆数+60×租用 B型车辆数，即可得出关于 m，n 的二元一次方程，结合 m，n 为整数结合 n≤7 即可得出各租车方案，再利用总费用＝350×租用 A 型车辆数+400×租用 B 型车辆数即可求出各租车方案所需费用，比较后即可求出最少租金． 【答案】解：（1）设每辆 A 型车有 x 个座位，每辆 B 型车有 y 个座位， 依题意，得：

　， 解得：

　． 答：每辆 A 型车有 45 个座位，每辆 B 型车有 60 个座位． （2）设租 m 辆 A 型车，n 辆 B 型车， 依题意，得：45m+60n＝480， 解得：n＝8﹣ m． ∵m，n 为整数， ∴ （舍去）， ， ， ∴有两种租车方案，方案 1：租 4 辆 A 型车、5 辆 B 型车；方案 2：租 8 辆 A 型车、2 辆B 型车． 当租 4 辆 A 型车、5 辆 B 型车时，所需费用为 350×4+400×5＝3400（元）， 当租 8 辆 A 型车、2 辆 B 型车时，所需费用为 350×8+400×2＝3600（元）． ∵3400＜3600， ∴租 4 辆 A 型车、5 辆 B 型车所需租金最少，最少租金为 3400 元．

　【点睛】本题考查了二元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．

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