专题08,概率（解析版）

　题 专题 08 概率

　【要点提炼】

　古典概型的概率公式. P(A)＝ mn ＝事件A中所含的基本事件数试验的基本事件总数.

　考点 考向一 古典概型 【典例 1】

　(1)(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是(

　)

　A.516

　B. 1132

　C. 2132

　D. 1116

　(2)(2020·湖北四地七校联考)根据党中央关于“精准脱贫”的要求，某农业经济部门派 4 位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为________. 解析 (1)在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数 n＝64，恰有 3 个阳爻的基本事件数为 20. 故在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有 3 个阳爻的概率 p＝ 2064 ＝516 . (2)4 位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，共有 2 4 ＝16种情况.只有周一或周二有专家参加调研活动的情况有 2 种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的情况有 16－2＝14 种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的概率 p＝ 1416 ＝78 . 答案 (1)A (2) 78

　探究提高 求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.

　【拓展练习 1】

　(2020·重庆质检)2020 年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出 3 名医生，2 名护士支援湖北，现从这 5 人中任选 2 人定点支援湖北某医院，则恰有 1 名医生和 1 名护士被选中的概率为(

　) A.0.7

　 B.0.4

　 C.0.6

　 D.0.3 解析 从 5 人中任选 2 人定点支援湖北某医院的基本事件总数 n＝10，恰有 1 名医生和 1 名护士被选中包含的基本事件个数 m＝6，则恰有 1 名医生和 1 名护士被选中的概率为 P＝ mn ＝610 ＝0.6. 答案 C

　【 专题拓展练习】

　一、单选题 1．—个正六边形1 2 3 4 5 6A A A A A A ，从它的 6 个顶点中任取 2 个不同的顶点可以连成一条线段，如果这 2 个顶点相邻，就连成正六边形的边，如果这 2 个顶点不相邻，就连成正六边形的对角线．那么取得的 2 个顶点可以连成一条对角线的概率是（

　）

　A．25 B．12 C．35 D．23 【答案】C 【详解】

　两个点的取法一共有1 2A A 、1 3A A 、4 1A A 、1 5A A 、1 6A A 、2 3A A 、2 4A A 、2 5A A 、2 6A A 、3 4A A 、3 5A A 、3 6A A 、4 5A A 、4 6A A 、5 6A A ，共计 15 种情况， 其中能连成边的1 2A A 、1 6A A 、2 3A A 、3 4A A 、4 5A A 、5 6A A ，共计 6 种情况， 所以能连成对角线的有 15 6 9   种，概率为9 315 5 ， 故选：C. 2．习近平总书记在安微考察时指出，长江生态环境保护修复，一个是治污，一个是治岸，一个是治渔.为了保护长江渔业资源和生物多样性，我市从 2020 年 1 月 1 号起全面实施长江禁渔 10 年的规定.某科研单位需要从长江中临灭绝的白豚、长江江豚、达氏鲟、白鲟、中华鲟这 5 种鱼中随机选出 3 种进行调查研究，则白鲟和中华鲟同时被选中的概率是（

　）

　A．15 B．310 C．25 D．12 【答案】B 【详解】

　5 种鱼中随机选出 3 种的取法：10 种， 白鲟和中华鲟同时被选中的取法：3 种， 所以白鲟和中华鲟同时被选中的概率310p  . 故选：B 3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有 2 个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，则袋中球的总个数为（

　）

　A． 5

　B． 8

　C． 10

　D． 12

　【答案】C 【详解】

　设袋中球的总个数为 n ，由题意可得2 15 n ，解得 10 n . 故选：C. 4．甲、乙两名党员报名参加进社区服务活动，他们分别从“帮扶困难家庭”、“关怀老人”、“参加社区义务劳动”、“宣传科学文化法律知识”这四个项目中随机选一项目报名，则这两名党员所报项目不同的概率为（

　）． A．14 B．13 C．23 D．34 【答案】D 【详解】

　甲、乙分别从“帮扶困难家庭”、“关怀老人”、“参加社区义务劳动”、“宣传科学文化法律知识”这四个项目中随机选一项目报名共有 4 4 16   种不同的方法， 其中两名党员所报项目不同共有 4 3 12   种不同的方法， 由古典概型可知，12 316 4P   , 故选：D 5．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成 600 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该药店某日积压 800 份订单未配货，预计第二天新订单超过 1000 份的概率为

　0.02．志愿者每人每天能完成 35 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于 0.98，则至少需要志愿者（

　）

　A．32 名 B．33 名 C．34 名 D．35 名 【答案】C 【详解】

　由题意可知，第二天需要完成的订单数为 800 1000 1800   ，需要志愿者 x 名 因为350.98, 33.61800 600xx  ．所以至少需要志愿者 34 名． 故选：C. 6．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 60 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 25 秒才出现绿灯的概率为（

　）

　A．512 B．58 C．712 D．78 【答案】C 【详解】

　解：红灯持续时间为 60 秒，至少需要等待 25 秒才出现绿灯， 所以一名行人前 35 秒来到该路口遇到红灯， 则至少需要等待 25 秒才出现绿灯， 所求的概率为60 25 760 12P  ． 故选：

　C ． 7．有 4 个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字 1，2，3，4．现每次有放回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第 4 次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每 1 组中有 4 个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下 21 组随机数：

　1314

　1234

　2333

　1224

　3322

　1413

　3124

　 4321

　 2341

　2413

　 1224

　2143

　4312

　2412

　1413

　4331

　2234

　4422

　3241

　 4331

　4234， 由此可以估计恰好在第 4 次停止摸球的概率为（

　）

　A．23 B．13 C．27 D．521 【答案】C

　【详解】

　由题意得，直到标有偶数的球都取到过就停止，且恰好在第 4 次停止摸球， 表示所得到的 4 个数中包含 2 和 4，且前 3 次只能出现 2 或 4 中的一个（不限次数），第 4次又摸到另外一个偶数， 有 1234，1224，3124，1224，4312，2234 共有 6 组， 所以恰好在第 4 次停止摸球的概率6 221 7P   . 故选：C 8．在区间   22  , 上随机地取一个数 x ，则事件“22 0 x x   ”发生的概率为（

　）

　A．13 B．12 C．14 D．34 【答案】D 【详解】

　不等式22 0 x x   的解集为 1 2 x    ，所以概率2 ( 1) 32 ( 2) 4P   . 故选：D. 9．2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p ，使得 2 p 是素数．素数对 ( , 2) p p 称为孪生素数．从 15 以内的素数中任取 2 个构成素数对，其中是孪生素数的概率为（

　）

　A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】

　15 以内的素数有 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ，共 6 个，任取两个构成素数对，则有：

　  2,3 ，   2,5 ，   2,7 ，  2,11 ，  2,13 ，   3,5 ，   3,7 ，   3,11 ，   3,13 ，  5,7 ，   5,11 ，  5,13 ，   7,11 ，   7,13 ，   11,13 ，共 15 中取法，而是孪生素数的有   3,5 ，  5,7 ，   11,13 ，其概率为3 115 5p   . 故选：C. 10．从 2 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中恰有

　1 名男同学和 1 名女同学的概率为（

　）

　A．34 B．12 C．23 D．14 【答案】C 【详解】

　因为从 2 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学的基本事件有 6 种, 选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学的基本事件有 4 种, 所以选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学的概率为4 26 3p   , 故选：C 11．给出一组样本数据：1，4， m ，3，它们出现的频率分别为 0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为 2.5，从 1，4， m ，3 中任取两个数，则这两个数的和为 5 的概率为（

　）

　A．12 B．23 C．13 D．14 【答案】C 【详解】

　由题意得，样本平均值为 1 0.1 4 0.1 0.4 3 0.4 2.5 m         ，解得 2 m ， 即这组样本数据为 1，4，2，3， 从中任取两个有   1,4 ，   1,2 ，   1,3 ，   4,2 ，   4,3 ，   2,3 共 6 种情况， 其中和为 5 的有   1,4 ，   2,3 两种情况， ∴ 所求概率为2 16 3P   ， 故选：C. 12．下列叙述错误的是（

　）

　A．若事件 A 发生的概率为( ) P A ，则 0 ( ) 1 P A  

　B．随机抽样都是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等 C．线性回归直线ˆˆ ˆ y bx a   必过点 ( , ) x y

　D．对于任意两个事件 A 和 B ，都有 ( ) ( ) ( )    P A B P A P B

　【答案】D 【详解】

　A 选项，根据概率的定义可得，若事件 A 发生的概率为 ( ) P A ，则 0 ( ) 1 P A   ，A 正确； B 选项，根据随机抽样的定义可知，B 正确； C 选项，线性回归直线ˆˆ ˆ y bx a   必过样本中心点 ( , ) x y ，C 正确； D 选项，对于任意两个事件 A 和 B ，其和事件发生的概率公式为：( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B      ， 只有当事件 A 和 B 是互斥事件时，才有 ( ) ( ) ( )    P A B P A P B ，故 D 错误， 故选：D. 二、解答题 13．若一正四面体的四个面分别写上数字 1，2，3，4，设 m 和 n 是先、后抛掷该正四面体得到的底面上的数字，用 X 表示函数2( ) f x x mx n    零点的个数． （1）求 X 0  的概率； （2）求在先后两次出现的点数中有数字 3 的条件下，函数有零点的概率． 【详解】

　（1）由题意，设基本事件空间为     , 1,2,3,4; 1,2,3,4 Q m n m n    ，则                            1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 3,1 , 3.2 , 3,3 , 3,4 , 4,1 , Q 

　       4,2 , 4,3 , 4,4 ，则 Q 中共有 16 个基本事件； 设函数2( ) f x x mx n    零点的个数为 0 个时为事件 A，则    , 1,2,3,4; 1,2,3,4; A m n m n    且 24 0 m n   ，即                     1,1 , 1,2 , 1,3 , 1.4 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 3,3 , 3,4 A ，则 A 中有 9 个基本事件； 所以 X 0  的概率9( 0)16P X   ． （2）设先后两次出现的点数中有数字 3 为事件 D，则                 1,3 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 4,3 Q ，故 D 中有 7 个基本事件， 设先后两次出现的点数中有数字 3 的条件下，函数有零点的事件为 E，则         3,1 , 3,2 , 4,3 E  ，E 中有 3 个基本事件，

　所以先后两次出现的点数中有数字 3 的条件下，函数有零点的概率为37． 14．某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了 100 人作为样本，得到以下数据表格． （单位：人次）

　满意度 老年人 中年人 青年人 自助餐 点餐 自助餐 点餐 自助餐 点餐 10 分（满意）

　12 1 20 2 20 1 5 分（一般）

　2 2 6 3 4 12 0 分（不满意）

　1 1 6 2 3 2 （1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐? （2）为了和顾客进行深人沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取 2 人进行交流，求两人都是中年人的概率； （3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式? 【详解】

　（1）由题知，老年人选择自助餐的频率11519P  ， 中年人选择自助餐的频率23239P  ， 青年人选择自助餐的频率32742P  ， 则2 1 3P P P   ， 即中年人更倾向于选择自助餐． （2）点餐不满意的人群中，老年人 1 人（设为 a ），中年人 2 人（设为 b ， c ），青年人 2人（设为 d ， e ）． 从中选取 2 人，其基本事件有 ( , ) a b ， ( , )a c ， ( , ) a d ， ( , ) a e ， ( , ) b c ， ( , ) b d ， ( , ) b e ， ( , ) c d ， ( , ) c e ， ( , ) d e ，共 10 个 基本事件，其中 2 人都是中年人仅有一个 ( , )b c 符合题意； 故两人都是中年人的概率为110P  ．

　（3）由表可知，自助餐满意的均值为：

　152 10 12 5 10 0 58052 12 10 74x      ． 点餐满意的均值为：

　24 10 17 5 5 0 1254 17 5 26x       1 2 x x ，故建议其选择自助餐．

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