北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一
数学试题(文)
考试时间:120 分钟;试卷分值:150 分
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.若集合,,则( )
A. B.
C. D.
2.设复数(是虚数单位),则在复平面内,复数对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.若向量,,则( )
A. B. C.3 D.
4.《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随意投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是
A.; B.; C.; D.
5.若函数与的对称轴完全相同,则函数在哪个区间上单调递增
A. B. C. D.
6.若函数的最小值为,则实数的取值范围为
A.或; B.或;
C.或; D.或;
7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是( )
A. B.C. D.
8.已知直线 QUOTE 与双曲线的斜率为正的渐近线交于点,曲线的左、右焦点分别为 QUOTE QUOTE ,若 QUOTE ,则双曲线的离心率为( )
A. 或 B. C.D.
第二部分(非选择题 共110分)
填空题共6小题,每小题5分,共30分。
9.已知函数,则2.
10.某校高三科创班共48人,班主任为了解学生高考前的心理状况,将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查,若抽到的最大学号为48,则抽到的最小学号为6.
11.已知实数,满足约束条件,则的最大值___2____.
12.如果,,,是抛物线:上的点,它们的横坐标依次为,,,, QUOTE 是抛物线C的焦点,若,则___20______.
13.已知的内角,,的对边分别为,,,若,,,则的面积为__________.
14.已知四棱椎中,底面是边长为2的菱形,且,则四棱锥体积的最大值为_______.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15.已知数列{}是等差数列,首项,且是与的等比中项.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设,求数列{}的前n项和.
解:(1)设数列的公差为d,a1=1,且是与的等比中项.
,
或
当时,,是与的等比中项矛盾,舍去.
数列的通项公式为
(2)
16.已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)在中,内角所对的边分别是.若,且面积,求的值.
解:(1)
由已知得
又
即
17.某大学生参加社会实践活动,对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查,销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示:
月份
1
2
3
4
5
6
销售单价(元)
9
9.5
10
10.5
11
8
销售量(件)
11
10
8
6
5
14.2
(1)根据1至5月份的数据,求出关于的回归直线方程;
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元,则认为所得到的回归直线方程是理想的,试问(1)中所得到的回归直线方程是否理想?
(3)预计在今后的销售中,销售量与销售单价仍然服从(1)中的关系,若该种机器配件的成本是2.5元/件,那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润?(注:利润=销售收入-成本).
参考公式:回归直线方程,其中,参考数据:.
解:(1)解析:(1)因为,
·
所以,则,
于是关于的回归直线方程为;
(2)当时, ,则
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的;
(3)令销售利润为,则,
因为,
当且仅当,即时, 取最大值.
所以该产品的销售单价定为7.5元/件时,获得的利润最大
18.如图,在四棱锥中,,
,,.
(1)求证:;
(2)若,,为的中点.
( = 1 \* roman i)过点作一直线与平行,在图中画出
直线并说明理由;
( = 2 \* roman ii)求平面将三棱锥分成的两部分体积的比.
证明:(1)取中点,连接,
,为中点
又,为中点
又
面
又面
(2)( = 1 \* roman i)取中点,连接,,则,即为所作直线
理由如下:
在中、分别为、中点
,且
又,
且
四边形为平行四边形.
( = 2 \* roman ii),,
面
又在中,,,
又,
面
方法一:
方法二:在中,为中位线
方法三:
…
19. 已知函数f(x)=(3-x)ex,g(x)=x+a(a∈R)(e是自然对数的底数,e≈2.718…).
(1) 求函数f(x)的极值;
(2) 若函数y=f(x)g(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围;
(3) 若函数h(x)=eq \f(f(x)+g(x),x)在区间(0,+∞)上既存在极大值又存在极小值,并且函数h(x)的极大值小于整数b,求b的最小值.
(1) f(x)=(3-x)ex,f′(x)=(2-x)ex,
令f′(x)=0,解得x=2,列表如下:
所以当x=2时,函数f(x)取得极大值,极大值f(2)=e2,无极小值.
(2) 由y=f(x)g(x)=(3-x)(x+a)ex,
得y′=ex[-x2+(3-a)x+3a-2x+(3-a)]=ex[-x2+(1-a)x+2a+3].
因为ex>0,令m(x)=-x2+(1-a)x+2a+3,
所以函数y=f(x)g(x)在区间[1,2]上单调递增等价于对任意的x∈[1,2],函数m(x)≥0恒成立,
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m(1)≥0,,m(2)≥0,))解得a≥-3,
故a的取实范围是[-3,+∞).
(3) 由题意得h(x)=eq \f(f(x)+g(x),x)=eq \f((3-x)ex+x+a,x),
则h′(x)=eq \f(ex(-x2+3x-3)-a,x2).
令r(x)=ex(-x2+3x-3)-a,
因为h(x)在区间(0,+∞)上既存在极大值又存在极小值,
所以h′(x)=0在区间(0,+∞)上有两个不等的实数根,
即r(x)=ex(-x2+3x-3)-a=0在区间(0,+∞)上有两个不等的实数根x1,x2(x1<x2).(10分)
因为r′(x)=ex(-x2+3x-3-2x+3)=ex(-x2+x)=x(1-x)ex,
所以当x∈(0,1)时,r′(x)>0,r(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,r′(x)<0,r(x)单调递减,则0<x1<1,
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r(0)<0,,r(1)>0,))解得-3<a<-e,
所以req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))=-eq \f(3,4)eeq \s\up6(\f(3,2))-a<-eq \f(3,4)eeq \s\up6(\f(3,2))+3<0.
因为r(x)在区间(0,+∞)上连续且r(0)·r(1)<0,r(1)·req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<0,
所以r(x)=0在区间(0,1)和区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2)))上各有一个实数根,
所以函数h(x)在区间(0,+∞)上既存在极大值又存在极小值时,有-3<a<-e,并且在区间(0,1)上存在极小值f(x1),在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2)))上存在极大值f(x2),
所以h(x2)=eq \f((3-x2)ex2+x2+a,x2),且h′(x2)=eq \f(ex2(-xeq \o\al(2,2)+3x2-3)-a,xeq \o\al(2,2))=0,
所以a=ex2(-xeq \o\al(2,2)+3x2-3),
所以h(x2)=[(3-x2)ex2+x2+ex2(-xeq \o\al(2,2)+3x2-3)]×eq \f(1,x2)=ex2(2-x2)+1,
令H(x)=ex(2-x),则H′(x)=ex(1-x),
当x∈(1,+∞)时,H′(x)<0,H(x)单调递减,
因为x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2))),
所以heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<h(x2)<h(1),
即h(x2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e\s\up6(\f(3,2))+1,e+1)),
则3<eq \f(1,2)eeq \s\up6(\f(3,2))+1<e+1<4.
因为h(x)的极大值小于整数b,
所以满足题意的整数b的最小值为4.
20.在直角坐标系中,动圆与圆外切,且圆与直线相切,记动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)设过定点的动直线与曲线交于两点,试问:在曲线上是否存在点(与两点相异),当直线的斜率存在时,直线的斜率之和为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)设圆的半径为,
因为动圆与圆外切,
所以,①
又动圆与直线相切,
所以,②
由①②消去得,
所以曲线C的轨迹方程为.
(2)假设存在曲线上的点满足题设条件,不妨设
则,,,
,,
所以,③
显然动直线的斜率存在且非零,设,
联立方程组,消去得,
由Δ>0得t>1或t<-1,所以,且
代入③式得,令(m为常数),
整理得,④
因为④式对任意恒成立,
所以,
所以或,即或
即存在曲线上的点或满足题意.
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