[辽宁石油化工大学概率论与数理统计教案第七章参数估计【基本要求（20页）]

第七章参数估计

【基本要求】1、理解参数估计的概念，熟练掌握点估计的矩估计法和极大似然估计法；

2、 掌握估计量好坏的三个评选标准；

3、 理解理解区间估计的概念，熟练掌握单个正态总体的均值和方差的置信区间； 知道两个正态总体的均值差和方差比的区间估计。

【本章重点】参数估计的矩估计法和极大似然估计法；区间估计的概念

【本章难点】估计的矩估计法和极大似然估计法；区间估计的概念

【学时分配】9学时

【授课内容】

前言

上一章，我们讲了数理统讣的基本概念，从这一章开始，我们研究数理统讣的重要内容之一 即统计推断。

所谓统讣推断，就是根据从总体中抽取得的一个简单随机样本对总体进行分析和推断。即由 样本来推断总体，或者山部分推断总体。一一这就是数理统计学的核心内容。它的基本问题包括 两大类问题，一类是估计理论；另一类是假设检验。而估计理论乂分为参数佔汁与非参数佔汁， 参数佔讣乂分为点估讣和区间估计两种，这里我们主要研究参数估讣这一部分数理统讣的内容。

§ 7. 1点估计

统计推断的U的，是山样本推断出总体的具体分布。一般来说，要想得到总体的精确分布是 十分困难的。山笫六章知道：只有在样本容量充分大时，经验分布函数人⑴⑴(以概率

1),但在实际问题中，并不容许n很大。而山笫五章的中心极限定理，可以断定在某些条件下的

分布为正态分布，也就是说，首先根据样本值，对总体分布的类型作出判断和假设，从而得到总 体的分布类型，其中含有一个或儿个未知参数；其次，对另外一些并不关心其分布类型的统计推 断问题，只关心总体的某些数字特征，如期望、方差等，通常把这些数字特征也称为参数。这时, 抽样的LI的就是为了解出这些未知的参数。

例1：设某总体X~〃（2）,试山样本来佔汁参数；I。

例2：设某总体试山样本（XrX2,---,X?）来估计参数卩，L。

在上述二例中，参数的取值虽未知，但根据参数的性质和实际问题，可以确定出参数的取值 范圉，把参数的取值范圉称为参数空间，记为O ,

如：例 1： 0={212>0） 例2： 0={（（i,a2）la>04ie/?}

1.定义：所谓参数估计，是指从样本…,X“）中提取有关总体X的信息，即构造样本的函 数一一统计量g（X|,X"「X”），然后用样本值代入，求出统计量的观测值g（K‘2,…,七）,用该 值来作为相应待估参数的值。

此时，把统计量g（X|,X2,…,X”）称为参数的估计量,把g（X"2.…，心）称为参数的估计值。

2?类型：包括

2?类型：包括

点估计 区间估计

1）点估计:指对总体分布中的参数6根据样本（八X2,…,X』及样本值（西宀m），构造 一统计量g（X“X“…、XJ,将g（X"2?…心）作为&的估计值,则称g（X“X2,…岛）为&的点估计 量,简称点估计。记为&二g（X],X2,…,。

2）区间估讣：指对总体中的一维参数8,构造两个统讣量:

0 二 g](X],X2,…，X』 02 二 g2(X],X2,…,XJ 使得待佔参数以较大的概率落在［0，&2〕内，此时，称［0，&2】为&的区间估讣。

关于点估计的一般提法：设e为总体x分布函数中的未知参数或总体的某些未知的数字特 征，（X|,X2,…,X”）是来自x的一个样本，（册宀,…,耳）是相应的一个样本值，点估计问题就是构 造一个适、"i的统计量6（x「X2,…,x“），用其观察值玄几吃,…，兀）作为未知参数&的近似值，我 们称6（X|,X2,…,X”）为参数&的点估计量，0（刁‘2,…,心）为参数&的点佔计值，在不至于混淆的 情况下，统称为点估lb ill于估讣量是样本的函数，因此对于不同的样本值，&的佔讣值是不同 的。

点佔讣量的求解方法很多，这里主要介绍矩估计法和极大似然估计法，除了这两种方法之外, 还有Bayes方法和最小：乘法等。

一、矩估计法：IK. Pearson提出）

基本思想：

矩佔计法是一种古老的估计方法。大家知道，矩是描写随机变量的最简单的数字特征。样本

来自于总体，从前面可以看到样本矩在一定程度上也反映了总体矩的特征，且在样本容量”增大

1 “

的条件下，样本的比阶原点矩以概率收敛到总体x的比阶原点矩?=e（x, 即 儿一竹（/I -? co） k "2因而自然想到用样本矩作为总体矩的佔计。

2.具体做法：

假设& =（久&2,…4）为总体X的待估参数（矢①），（X|,X2,…,X“）是来自X的一个样本,

A = “

= g =EX【,1 = \2,…,k令— 即

= g =EX【,1 = \2,…,k

?… n

4 =叫 得一个包含k个未知数的方程组，从中解出& =（?0,…何）的一组解0=庇気…

然后用这个方程组的解&,玄,&分别作为q,&2,…冏的估计量,这种估计量称为矩估计量,矩 估讣量的观察值称为矩估讣值。

该方法称为矩佔讣法。（只需掌握/ = 1,2的情形）

例3：设总体X的均值“及方差/都存在但均未知，且有cr2>0, 乂设是来自 总体X的一个样本，试求“，b?的矩估计量。

解:因为仁爲S

b2 = a

b2 = a2 一 a：

所以得

1 n 1 ft

&2=丄工（石）一乂2=丄》￡厂乂 ）2

注：上述结果表明：总体均值与方差的矩估汁量的表达式不会因总体的分布不同而异；同时，我 们乂注意到，总体均值是用样本均值来估计的，而总体方差（即总体的二阶中心矩）却不是用样 本方差来估计的，而是用样本二阶中心矩来估计。那么，能否用S?来估计/呢？能的话，与 弘哪个更好？下节课将再作详细讨论。

■

这样看来，虽然矩佔计法计算简单，不管总体服从什么分布，都能求出总体矩的佔汁量，但 它仍然存在着一定的缺陷：对于一个参数，可能会有多种佔讣量。比如下面的例子：

例4：设X?P伙M）, 2未知,区血…,X』是X的一个样本,求九

v E(X) = 2, D(X) = A

所以由洌3可知：E(X) = 2 =>2 = X Z)(X) = 2 2 = ly (X,- - X)2

n匕

一 1川

由以上可看出，显然乂与厂乂 ）2是两个不同的统计量，但都是2的估计。这样，就会给应 用带来不便，为此，R. A. Fisher提出了以下的改进的方法: 二、最（极）大似然估计法：（R.A. Fisher提出）

基本思想：

若总体*的分布律为P（X=x） = p（x;8）［或密度函数为/3；&）］，其中& =（q,&2,…4）为待 估参数（处（3）。

设（X|,X2,…,X”）是来自总体X的一个样本,3，勺，…，暫）是相应于样本的一样本值,易知: 样本（Xi，X2，?「x“）取到观测值3*2,…心）的概率为

p = P{X］=x}iX2= X? =xn} = Yl,［或样本（X|,Xw,X“）落在点

i-l

（召,%2,的邻域（边长分别为“X「九，…,心,的”维立方体）内的概率近似地为

"2口/（兀;3）心（微分中值定理）］,令厶（&） =厶3，花,…，俎）= □"（“&）［或

1-1 J-1

厶（&）=厶（心兀,…心）=fj/a；&）］,则概率"随&的取值变化而变化，它是&的函数，厶（&）称为 f-l

样本的似然函数（注意，这里的召內，…,X"是已知的样本值，它们都是常数）。如果已知

时使L（0）取最大值，我们自然认为％作为未知参数0的估计较为合理。

最大似然方法就是固定样本观测值（召,召,…?），在&取值的可能范用O内，挑选使似然函数 厶（心召,…,&；&）达到最大（从而概率〃达到最大）的参数值6作为参数&的估讣值，即 厶（册,左，…,x“;6） = max厶3，曲,.,兀;8）,这样得到的6与样本值（州,心…兀）冇关，常记为

63,七,…￡）,称之为参数&的最大似然估计值,而相应的统计量&兀,笛,…）称为参数&的最 大似然佔讣量。这样将原来求参数&的最大似然估讣值问题就转化为求似然函数厶（&）的最大值问 题了。

具体做法:

在很多情况下,p(x^)和/(x；e)关于e可微，因此据似然函数的特点，常把它变为如下形 式：加Z/e丿= ￡〃? /■(兀,￡丿(或^ln p(X-/0)),该式称为对数似然函数。山高等数学知：

f-1 1-1

l(&)与in l(0)的最大值点相同，令 小厶(。)=o心12…，& ,求解得：e = …心)，从

而可得参数&的极大似然佔讣量为0=6(X|,X2，,x”):

若p(x;3)和f(x,0)关于0不可微时,需另寻方法。

例5：设X~3(l,p),"为未知参数，(心吃,…心)是一个样本值，求参数〃的极大似然估讣。

解:因为总体X的分布律为:P{X=X} = px(\-p)l-xf x=Q,l

故似然函数为厶(〃)=匸［/八(1一卩)7 =pg (l_p) g 易=0,1仃= 1,2,…〃丿

n ;i

而In L( p ) = (^xi )ln 〃 + 仃2 -工xi )ln( 1 一 〃丿

(n-^xj+ ——— = 0,(p-l)

(n-^xj

+ ——— = 0,

(p-l)

1川

解得p的最大似然估计值为

所以〃的最大似然佔讣量为:

X O

例6：设“, b2未知,(X「Xp…,XJ为X的一个样本,c.?…也)是

(X?X2, -,Xn)的一个样本值，求“，/的极大似然估计值及相应的估计量。

W： X

W：

X ~ /(x;/A<r) = 、_ e P

xeR

H 1 一叶" ?

所以似然函数为：厶(“d) = J7-^e & =(2柯丁 /-) yl 2/r b

取对数：In L(//, cr2) = --(In 2^- + In cr2)—— 工(旺一 “)'

TOC \o "1-5" \h \z 2 2b~ i

分别对“，/求导数:

0 1 “

⑴(2)—(1iiL) = —

⑴

(2)

Q n 1

而(讥)=—寿+寿若a—“)vo

tn _ i n 1 n

ill (1)=>yi = -^Xi =X ,代入(2) =>Q‘ =_》(兀 _p)‘ =_工(￡一元)2 n f-1 n f-1 11 ?-l

1 " 一 1 w __

“d的极大似然估计值分别为：=x； <r2=ly（xr -x）2 n j n

1 訂 _ 1 〃

“d的极大似然佔计量分别为：p = Lyxt=x, &2=丄工（乙一乂）2=乩 n 一］ n -

a<x<b其它例7：设X?UgQ sb

a<x<b

其它

解:由于 X ~ f(x) = ] b - G

0

a<xl.x2,-\xn <b

则似然函数为：L（ab） = <

其它

通过分析可知，用解似然方程极大值的方法求极大似然佔讣很难求解（因为无极值点），所

以可用直接观察法:

= min Xi , x(n/ =maxxi, Yf a < x{.x^'^xn <b a < x(}>9x(n) < b \<j<n \<i<n

则对于满足条件：，S 〃的任总"仃=册5占

即L(u.b)在o = x⑴，b = Xg时取得最大值厶仆(么方)=

(礼)一丸))“

故a上的极大似然估计值为a = x. =min{x} , b = x =max{x), a.b的极大似然估计量为

TOC \o "1-5" \h \z ⑴ \<i<n 1 (") 1

"Xa)=^{XJ , ^ = X(/r) = max{XJo

士 4 人 1 6/ < X < /? n . 1

或者令 /(? <%</?)=> t 贝lj X ~ f(x) = /(? <x<b) 9

0 其已 b_a

从而似然函数为:L(a,b)=兀、(/「),； [/(? < x. < b)], IE a(1) = niin.v, , xln) = nrix x, ? 可得

n 1 1

L(eb)=兀 [I{a < < A；rn < b)] < r ,故a.b的极大似然估计量为

(，) (n) (G-x(J

a = X(l) b = X{n}o

极大似然估计量有如下的性质：

设&的函数u=u{0),处€>,具有单值反函数6 = 0{u) o 乂设0是X的密度函数f(x-0)[或

分布列p(A；0)](形式已知)中参数&的极大似然估计，则= 是“(&)的极大似然佔讣。

1 川

例如，在例6中得到/的极大似然估计为&2=丄y(xz-x)2 而

“ = 具有单值反函数b‘ =“'(“>0) 据上述性质有： 标准差CT的极大似然估计为& =、& = ￡￡(Xi -X)2

课后作业：1、认真阅读P：65油；

作业：P畑1-4; 7 3、预习：估计量的评选标准和区间估计

§ 7. 2估计量的评选标准

0、引言

从上一节得到：对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，用相同的方法 也可能得到不同的估计量，也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，原则上讲，其中任 何统汁量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？这就涉及到估计量的评 价问题，而判断估计量好坏的标准是：有无系统偏差；波动性的大小；伴随样本容量的增大是否 是越来越精确，这就是估计的无偏性，有效性和相合性。

一、无偏性

设&是未知参数8的佔讣量，则&是一个随机变量，对于不同的样本值就会得到不同的佔讣 值，我们总希望佔讣值在&的真实值左右徘徊，而若其数学期望恰等于&的真实值，这就导致无 偏性这个标准。

定义1:设0 = 0 (X「X2，,X”)是未知参数&的估计量，若E(&)存在，且对V6>eO有 E&二8,则称5是&的无偏佔汁量，称5具有无偏性。

在科学技术中，E⑹弋称为以&作为&的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就是无系 统误差。

例1：设总体X的&阶中心矩mk=E(Xk)伙21)存在，(Xi，X2，?：X“)是X的一个样本，证

1 n

明：不论X服从什么分布，A, 是“的无偏估计。

n J-1

证明:X|,X2,…X”与 X 同分布，E(X「)= E(X") = 〃％, = 1,2,…,"

1 n

= ) = 特别，不论X服从什么分布，只要￡(X)存在，乂总是E(X)的无

偏佔计。

例2：设总体X的E（X） = “，D（X） = b2都存在，且（T2 >0,若均为未知，则，的估计

1 H

量^=ly（xr _x）2是有偏的。

1 ft 1 n

证明:v<r2 =ly（xz-x）2 =lyx.2-x2,

"伺 ntt

若在&2的两边同乘以—,则所得到的估讣量就是无偏了

”一1

即 E(— <T2 ) = — ￡(cr2) = <T2 , n-1 zi-1

而角卩恰恰就是样本方差尸

而角卩恰恰就是样本方差尸

可见，S?可以作为L的估计，而且是无偏估计。因此，常用S?作为方差/的佔汁量。从 无偏的角度考虑，S?比伙作为&丄的估计好。

■

在实际应用中，对整个系统（整个实验）而言无系统偏差，就一次实验来讲，6可能偏大也 可能偏小，实质上并说明不了什么问题，只是平均来说它没有偏差。所以无偏性只有在大量的重 复实验中才能体现出来：另一方面，我们注意到：无偏估计只涉及到一阶矩（均值），虽然计算 简便，但是往往会出现一个参数的无偏佔计有多个，而无法确定哪个估讣量好。

1 --

—e 6 x>0

例3：设总体

例3：设总体X?P（8）,密度为p^0） = \

其中&>0为未知，乂

0 其它

(X“X2,…,X』是X的一样本,则乂和nZ = n[nin(XpX2,--sXJ]都是&的无偏估计。

证明：￡(乂) = E(X) = 0, .?.乂是&的无偏估计

而Z = niin{X1,X?- -,Xn)则服从参数为？的指数分布，其密度为

n

TOC \o "1-5" \h \z ? IIX

-e^ x>0

& o

/mi」％；。)= < E(Z) = - ,=> = 0

0 其它 "

即“Z是&的无偏佔计。事实上，(X|,X2,…,X“)中的每一个均可作为&的无偏估计。

那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个佔计量的观察值更接近真实值的附近， 即佔讣量的观察值更密集的分布在真实值的附近。我们知道，方差是反映随机变量取值的分散程 度。所以无偏估计以方差最小者为最好、最合理。为此引入了佔计量的有效性概念。

二、 有效性：

定义2：设(X「X2,…,x“)与&=&2(Xpx2,---,xn)都是&的无偏估计量，若有 D?) < ,则称&2比&有效。若对V&的无偏估计&都有：￡>(%)<￡>(&),则称九为&的最

小方差无偏估计。

例 4：在例 3 中,由于D(X) = 02 :. D(X) = — 乂D(Z) = r /. D(nZ) = O1

n ‘厂

当“>1时，显然有D(X)<D(nZ)，故乂较”Z有效。

三、 一致性(相合性)

关于无偏性和有效性是在样本容量固定的条件下提出的，即，我们不仅希望一个估讣量是无 偏的，而且是有效的，自然希望伴随样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数的真值，为此引

入一致性概念。

定义5：设&是0的估计量,若对Ve>0,有= 则称&是&的一致性估计 量。

例如：在任何分布中，无是E（x）的相合估计；而￥与场都是D（x）的相合估计。

不过，一致性只有在n相当大时，才能显示其优越性，而在实际中，往往很难达到，因此， 在实际工作中，关于估计量的选择要示具体问题而定。

§7.3区间估计

0、引言：

从点佔讣中，我们知道：若只是对总体的某个未知参数&的值进行统讣推断，那么点估计是 一种很有用的形式，即只要得到样本观测值（册宀…心），点佔计?值&3宀一，心）能给我们对&的 值有一个明确的数量概念。但是&（山,心……冷）仅仅是。的一个近似值，它并没有反映出这个近 似值的误差范围，这对实际工作都来说是不方便的，而区间佔计正好弥补了点佔计的这个缺陷。

　前面我们知道：区间估讣是指山两个取值于O的统汁量&, &组成一个区间，对于一个具体问 题得到的样本值之后，便给出了一个具体的区间［q，&2〕，使参数&尽可能地落在该区间内。

事实上，山于d，玄是两个统计量，所以［O’，&2 ］实际上是一个随机区间，它覆盖& （即

&］）就是一个随机事件，而］/就反映了这个区间估计的可信程度：另一 方面，区间长度02 也是一个随机变量，E（O-0X）反映了区间估il?的精确程度。我们自然希 望反映可信程度越大越好，反映精确程度的区间长度越小越好。但在实际问题，二者常常不能兼 顾。为此，这里引入置信区间的概念，并给出在一定可信程度的前提下求置信区间的方法，使区 间的平均长度最短。

置信区间的概念

定义1:设总体X的分布函数F(x-0)含有一个未知参数0,对于给定的a(Ovavl),若山样 本(XPX2-,X?)确定的两个统讣量 勺…,X”)和瓦內,笛…,X”)满足：

/?{6>! <0<~el］ = \-a (*)

则称：［色，呂］为&的置信度为1-a的置信区间，1-&称为置信度或置信水平，色称为双侧置信 区间的置信下限，02称为置信上限。

、“IX是连续型随机变量时，对于给定的我们总是按要求/7{^,<^<^) = l-a求出置信 区间：而、"IX是离散型随机变量时，对于给定的a,我们常常找不到区间［刍,爲］使得 恰为1-& ,此时我们取找区间色,02至少为l-a且尽可能接近l-a o

定义中，(*)式的意义在于：若反复抽样多次，每个样本值确定一个区间［?,?］,每个这样 的区间要么包含&的真值，要么不包含&的真值，据Bernoulli大数定律，在这样多的区间中， 包含&真值的约占1-Q ,不包含0真值的约仅占a ,比如，a=0. 005,反复抽样1000次，则得到 的1000个区间中不包含&真值的区间仅为5个.

例1：设总体X ~ Ng,/丿，/为已知,“为未知,(X|,X2…,X』是来自X的一个样本，求卩 的置信度为1-Q的置信区间.

解：山前知：乂是卩的无偏估计，且有(/ = 土上?N(0.1)

冷

据标准正态分布的a分位点的定义有： p{\U l<//1￡ } = \-a

所以卩的置信度为1 -a的置信区间为:

］,简写成:［乂土命你

］,简写成:［乂土命你］

比如，a二0. 05时，1 — a二0. 95,查表得：“丄=如皿=1?96

乂若a = L? = 16, x=5.4则得到一个置信度为0. 95的置信区间为:

[5.4±V16xl.96],

[5.4±

V16

xl.96],即[4.91,5.89]

注:此时,该区间已不再是随机区间了，但我们可称它为置信度为0. 95的置信区间，其含义是 指''该区间包含卩”这一陈述的可信程度为95%。若写成P{4.91<A<5.89) = 0.95是错误的，因为 此时该区间要么包含卩，要么不包含卩。

若记乙为置信区间的长度，则L =

若记乙为置信区间的长度，则L =冷忖

=> ? = [—J'，从 rl I 得知:

L/ *

山此可以确定样本容量〃,使置信区间具有预先给出的长度。

通过上述例子，可以得到寻求未知参数&的置信区间的一般步骤为：

寻求一个样本(Xi，X2…,X”)的函数W(E，X2「?,X”;&)；它包含待估参数&,而不包含其 它未知参数，并且U的分布已知，且不依赖于任何未知参数。这一步通常是根拯0的点估计及抽 样分布得到的。

对于给定的置信度I-a,定出两个常数u、b,使p{a<W<b} = \-a.这一步通常由抽样 分布的分位数定义得到。

从a<W<b中得到等价不等式其中:

0 = 0 ( ), 0 = 0 (XjX?…,)都是统计量，贝可就是&的一个置信度

为1-&的置信区间。

注：这里虽然得出了“的置信区间，但由于/未知，用厂近似因而估计的效果要差 些，即在相同置信水平下，所确定的置信区间长度要大些。

比如：书上的例lo

求方差/的置信区间：

1）当“已知时

由抽样分布知：Z2= f 忙~龙2（〃），

1-1 b

据Z2（?）分布分位数的定义，有：P/r <7S（n）/=^-; P{/>”&）} =斗

7 2 2

所以 P{ys(n)<x2

T 1 7

￡(Xl“)2I<a2 <

￡(Xl“)2

I

<a2 <

工(E-“)2

力;(")

故亍的置信度为l-a的置信区间为:

1=1 g

厶⑺)'x；G)

2）当“未知时,

由上节课知：元即是“的最小方差无偏估讣，乂是冇效估讣，所以川乂代替“，据抽样分

布有:CT2~八—

布有:

CT2

~八—1)

采用与1）同样的方法：可以得到b?的一个置信度为1-0的置信区间为:

f（X 厂乂 ）2

f（X 厂乂 ）2 f（XT）2

/=! 匸 1

厶（〃-1）'肚⑺T）

?-

（—IQ ⑺-唐 足卫? j）k；S j） ■ ■

进一步还可以得到＜7的置信度为1-a的置信区间为:

注意：当分布不对称时，如才分布和F分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信 区间，但所得区间不是最短的。

比如：书上的例2。

二、两个正态总体的情形

在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但山于原料、设备条 件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变，我们需要知 道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。

设总体x ~ ~ Ngb；),且X与丫相互独立，(xrx2- -,xn)来自x的一个样本,

(冷丫2,…必)为来自Y的一个样本，对给定置信水平为1-且设疋久S；,s；分别为总体X与丫 的样本均值与样本方差。

求的置信区间：

1)当W已知时：

山抽样分布可知：U = 土匸生工2 ~ N(O,1)

尸

所以可以得到“-从的置信水平为1-&的置信区间为:

V in n

2)当未知时，但〃肆均较大(大于50),可用S；和S；分别代替⑤式中则可 得(“ -“2)的置信水平为1 -a的近似置信区间为：

(x-y)±Aia. EZH1 ⑥

1 t V m n

当杆=刃=/,且/未知时，由抽样分布可知：若令护=(〃匸1小]+"二1)!￡,则 m + n - 2

T =(X-；)-(“-“2)?“ + ”_刁

山t分布分位数的定义有：P{\T\<tl_Am + n-2)} = \-a,从而可得：从一皿的可信度为l—a的

置信区间为：

[(X-Y)± y (加 + n - 2) ? S ? ? 7T4] ⑦

例2：为比较I , II两种型号步枪子弹的枪口速度，随机的取I型子弹10发，得到枪口平均

速度为石=500伽/$),标准差峙=1.10伽/s),取II型子弹20发，得到枪口平均速度为

x2 = 496(?n/5),标准差s2 = 1.20(/h/5),假设两总体都可认为近似地服从正态分布，且由生产过

程可认为它们的方差相等，求两总体均值差“ -“2的置信度为0. 95的置信区间。

解：由题设：两总体的方差相等，却未知，所以可用⑦式来求：

由于 1 — a = O.95,a/2 = 0.025,m = 10,n = 20, m+n — 2 = 28, f0075(28) = 2.0484

9x1」2+19x1.22

9x1」2+19x1.22

28

,所以 s' = = 1.1688

故所求置信区间为：[(￡ —石土T 畑5(2&)?J$ +期=[4±0?93]

即:[3.07493]

在该题中所得下限大于0,在实际中，我们认为厲比冷大，相反，若下限小于0,则认为" 与冷没有显著的差别。

2.求b

2.求b訂员的置信区间：(“「“2均未知)

III F分布的分位数定义及其特点:

P{Fy(7?z-l,n-l) < F < Fy 伽一 1/一1)} = l-a

可得千/丈的置信水平为1-a的置信区间为:

比如：书上的例5。

课后作业：1、认真阅读*6X9；

2、 作业：% 11, 12, 14-20；

3、 预习 Z1S0-1S2

§7.6单侧置信区间

上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向 的界限。例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了。这 时，可将置信上限取为+8,而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间。

于是引入单侧置信区间和置信限的定义：

设&是一个待估参数，给定a>0,若由样本曲,血,…，島确定的统计量

& = & X?,X”）满足P{& n玄} = 1 - Q，则称区间厲,8）是0的置信水平为1-a的单侧置信 区间，&称为单侧置信下限。

乂若统计量玄=e2（X^Xly -^X,l）^P{O>02} = \-a ,则称区间（Y0,玄］是&的置信水平 为1-a的单侧置信区间，玄称为单侧置信上限。

例1从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命/（单位：小时）如下：

1050, 1100, 1120, 1250, 1280

设灯泡寿命服从正态分布。求灯泡寿命均值“的置信水平为0. 95的单侧置信下限。

解：〃的点佔计取为样本均值乂，由于方差/未知，取枢轴量

对给定的置信水平1-a,确定分位数<（"-1），使

= 即 P{p>X-ta(n-\)-^=} = \-a

于是得到“的置信水平为1-a的单侧置信区间为［X-ta（n-\）^=^］

即“的置信水平为1 的单侧置信下限为 将样本值代入得“的置信水平为0. 95的单侧置信下限是1065小时。

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