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第十一章 概率与统计

第一节 事件与概率

知识点精讲

一、必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下：

1）必然要发生的事件叫必然事件；

2）一定不发生的事件叫不可能事件；

3）可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.

二、概率

在相同条件下，做 n 次重复试验，事件 A 发生 m 次，测得 A 发

生的频率为 m ，在大量重复试验中， A 发生的频率在某个常数

n

附近摆动，这个确定的常数叫做 A 的概率，记作 P(A)

0 P(A) 1 ）.

三、基本事件和基本事件空间

在一次试验中，不可能再分的事件称为基本事件；所有基本事件

组成的集合称为基本事件空间 .

四、两个基本概型的概率公式——除法

1、古典概型

适用条件：基本事件空间含有有限个基本事件，每个基本事件发

生的可能性相同 .



.

对立事件 . 记作 B A或 A B . P(A) 1 P(A).对立事件的

两个集合互为补集 .

“ A, B 对立”是“ A, B 互斥”的充分不必要条件 .

例：在一次抽奖活动中，中一等奖的概率是 0.1 ，中二等奖的概

率是 0.2 ，中三等奖的概率是 0.4 ，计算这次抽奖活动中：

1）中奖的概率是多少？

2）不中奖的概率是多少？六、条件概率

在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做 A 发生时

B 发生的条件概率，记作 P( B | A) ，条件概率公式为：

P(A B)

P(B| A)

P( A)

七、事件的独立性

若 P(B | A) P(B) ，即 P( A B) P(A) P(B) ，称 A 与 B 为

相互独立事件 . A 与 B 相互独立即 A 发生与否对 B 的发生无影

响，反之亦然 .

八、独立重复试验（伯努利概型）

在 n(n N*) 次独立重复试验中，事件 A 发生 k(0 k n) 次的

概率记作 Pn (k) ，记 A 在其中一次试验中发生的概率为 p ，则

Pn (k) C nk pk (1 p)n k .

P( A)

A包含基本事件数

card ( A)

基本事件总数

card ( I )

题型归纳：

2、几何概型

一、古典概型

适用条件：每个事件都可以看作某几何区域

的子集 A 的几何

2 个白球， 3 个黑球，现做不放回抽取试

例 1、在一个口袋中有

度量（长度、面积、体积）记为

A .

验，求：

P( A)

A

（ 1）第一次就出现白球的概率；

五、互斥事件的概率

（ 2）白球在第

3 次首次出现的概率 .

1、互斥事件：在一次试验中不能同时发生的事件称为互斥事件 .

A, B 互斥 P(A B) P( A)

P( B) . （概率加法公式）

互斥事件之间的交集为空。

练习： 1、（ 2010 高考）三卡片上分别写上字母

E, E, B ，将三卡

2、对立事件：不能同时发生，且必有一个发生的两个事件叫做

片随机的排成一行，恰好排成英文单词

BEE 的概率为

. . .

.

. 三、条件概率

2、（ 2010 高考）盒子里共有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球 . 若 例 1、一个家庭中有两个小孩 . 假定生男、 生女是等可能的， 已知

从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是 . 这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多

少？

例 2、在大小相同的 6 个球中， 2 个是红球， 4 个是白球，若从中任意选 3 个，则 3 个球当中至少有一个红球的概率是多少？

练习：抛掷两颗骰子，计算：

1）事件“两颗骰子点数相同”的概率；

2）事件“点数之和小于 7”的概率；

3）事件“点数之和大于或等于 11”的概率；

4）在点数之和里最容易出现的是几？

二、几何概型

例 1、（2012 高考）在长为 12cm的线段 AB 上任取一点 C .

现做一矩形，临边长分别为线段 AC ,CB 的长，则该矩形面积小

于 32cm2 的概率为（ ）

1 1 2 4

A. B. C. D.

6 3 3 5

例 2、如图所示， 在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ，则

点 P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）



例 2、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知

道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为 20% 和 18% ，两地同

时下雨的比例为 12% ，问：

1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？

2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？

练习：

1、抛掷红、蓝两个骰子，事件 A “红骰子出现 4 点”，事件

“蓝骰子出现的点数是偶数” ，求 P( A | B) .

2、盒子中有 25 个外形相同的球，其中 10 个白的， 5 个黄的， 10

个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是黑球，试求它是黄

球的概率 .

3、设某种灯管使用了 500h 还能继续使用的概率是 0.94 ，使用到

700 小时后还能继续使用的概率是 0.87 ，问已经使用了 500h 的

灯管还能继续使用到 700h 的概率 .

4、（ 2011 高考）从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件

“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 B “取到的 2 个数均

为偶数”，则 P( B | A) ( )

. . .

.

1

1

2

1

A.

B.

C.

D.

8

4

5

2

5、（ 2014

课标全国Ⅱ）某地区空气质量检测资料表明，一天的

空气质量为优良的概率是

0.75 ，连续两天为优良的概率是

0.6 ，

已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概

率是（ ）

A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45

四、事件的独立性

例：甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的

概率都是 0.6 ，计算：

1）两人都投中的概率；

2）其中恰有一人投中的概率；

3）至少有一人投中的概率 .

五、互斥事件与对立事件

例：（1）从 20 名男生、 10 名女生中任选 3 名参加体能测试，则

选到的 3 名学生中既有男生又有女生的概率是 ；

（2）一枚硬币连掷 5 次，则至少一次正面向上的概率为 .



（ 2） 5 次预报中至少有 4 次准确的概率 .

3、若 10 件产品中包含 2 件废品，今在其中任取 2 件，求：

1）取出的 2 件中至少有 1 件是废品的概率；

2）已知取出的 2 件中有 1 件是废品的条件下，另一件也是废品的概率；

3）已知 2 件中有 1 件不是废品的条件下，另一件是废品的概率 .

课后练习（古典概型）

五、独立重复试验

例 1、某射手射击 5 次，每次命中的概率为 0.6 ，求下列事件的概率：

（1）5 次中有 3 次中靶；

（2）5 次中至少有 3 次中靶 .

练习： 1、设顾客需要 27 号鞋的概率为 0.2 ，求鞋店上午开门营

业后，前 5 名顾客中：

1）有 2 人要买 27 号鞋的概率；

2）至少有 1 人要买 27 号鞋的概率 .

2、某气象站天气预报的准确率为 80% ，计算

（1）5 次预报中恰有 4 次准确的概率；

. . .

第二节 随机变量

一、离散型随机变量及其分布列

1、随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量 .

2、离散型随机变量：所有取值可一一列出的随机变量称为离散

型随机变量 .

3、分布列：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为

X1 , X 2 ,...X i ,..., Xn ， X 取 每 一 个 值 xi (i

1,2,...,n) 的 概 率

P( X

xi )

pi ，以表格的形式表示如下：

X

x1

x2

...

xi

...

xn

P

p1

p2

...

pi

...

pn

该表称为离散型随机变量

X 的概率分布，简称为

X 的分布列 .

4、分布列的性质

（1） pi

0,i 1,2,...,n；

n

（2） pi 1 .

1

例 1、一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装机器时，从这

批零件中随机抽取， ，取出废品则不放回，求在第一次取到合格

品之前已取出的废品数的分布列 .



.

练习：

二、超几何分布

一般地，设有总数为

N 件的两类物品，其中一类有

M 件，从所

有物品中任取 n 件 (n

N ) ，这 n 件中所含这类物品件数

X 是一

个离散型随机变量，它取值为

m 时的概率为：

m n

m

(

X

)

CM CN

M （

0

m l

，

l

为 n 和

M

中较小的一个 ）

P

m

C Nn

我们称离散型随机变量

X 的这种形式的概率分布为超几何分布 .

例：设有产品 100 件，其中有次品 5 件，正品 95 件，现从中随

机抽取 20 件，求抽得次品件数 X 的分布列 .

练习：

. . .

.

三、二项分布

若 离 散 型随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 Pn (k) C nk p k (1 p)n k

（ k 0,1,2,...,n ）其中 0 p 1 ，称随机变量 X 服从二项分布 .

记作 X ~ B( n, p) .

例： 9 粒种子分种在 3 个坑，每坑 3 粒，每粒种子发芽的概率为

0.5. 若一个坑至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一

个坑种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一

次，求需要补种坑数的分布列 .



四、正态分布

1

( x

)2

以

a,

( x)

e

2

2

2

作密度函数的连续型分布称作参数

为

,

2 的正态分布， 记作 N ( ,

2 ) . 特别地，称 N(0,1) 为标准

正态分布 . 其中，

, 是参数，且

0,

.

正态分布图像的性质：

（ 1）曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x 对称；

（ 2）曲线在 x 处取得最高点；

（ 3）曲线的形状由 确定， 越大曲线越矮胖， 越小，曲线

越高瘦 .

练习：

（ 4）图像与

x

轴之间的面积为 1.

（ 5）

~

N

(

,

2)，则 在

(,

，

2 )

，

)( 2,

( 3

,

3

) 上取值的概率分别为

68.3%,95.4%,99.7% ，这

叫做正态分布的

3

原则 .

. . .

例 1、（2011 高考）已知随机变量 服从正态分布 N (2, 2 ) ，且

P(

4)

0.8 ，则 P(0

2) （

）

A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2

例 2、设随机变量

服从正态分布 N (3,4) ，若 P(

2a 3)

P(

a

2) ，则 a

.

练习：



.

一般地，设一个离散型随机变量

X 所有可能取的值是 x1 , x2 ,...

xn ，这些值对应的概率是

p1 , p2,..., pn ，则

E( X ) x1 p1 x2 p2 ...

xn pn 叫做这个离散型随机变量

X 的

均值或数学期望（简称期望） .

例：从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变

量 X 表示所选 3 人中女生的人数 .

1）求 X 的均值；

2）求“所选 3 人中女生的人数 X 1 ”的概率 .

二、离散型随机变量的方差

一般地，设一个离散型随机变量

X 所有可能取的值

x1 , x2 ,..., xn ，

这些值对应的概率是

p1, p2 ,..., pn ，则

D ( X ) (x E( X ))2 p

( x

E ( X ))2 p ...

( x

E(X))

2 p

n

1

1

2

2

n1

叫做这个随机变量

X的方差.

D(X ) 叫做

X 的标准差 .

方差反映了随机变量取值相对于期望的平均波动大小 .

二项分布的期望和方差：

若 ~ B(n, p) ，则 E np ， D np(1 p) .

例：某厂一批产品的合格率是 98% ，检验单位从中不放回地随

机抽取 10 件，计算：

（ 1）抽出的 10 件产品中平均有多少件正品；

（ 2）计算抽出的 10 件产品中正品数的方差和标准差 .

第三节 数字特征

一、离散型随机变量的数学期望

. . .

.

课后练习：

综合练习：

. . .

.

第四节 统计案例

考点一、抽样方式

1、简单随机抽样 2 、系统抽样 3 、分层抽样

例 1、某批零件共 160 个，其中，一级品 48 个，二级品 64 个，

三级品 32 个，等外品 16 个。请分别用三种抽样方式，从中抽取

样本容量为 20 的样本 .

练习：

考点二、众数、中位数、平均数、标准差

1、在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

2、将一组数据按从大到小排列， 把处在中间位置的一个数据 （或

中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位；

3

、如果有 n 个数 x1 , x2 ,..., xn ，那么 x

x1

x2

...

xn

叫做这

n

n 个数的平均数；

4

、方差： s2 1

( x1

x)2

(x2

x)2

...

( xn

x) 2 ；

n

5

、标准差： s

1

(x1

x)2

(x2

x)2

...

( xn

x)

2 ；

n

平均数描述总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况

或者叫做稳定程度 .

例 2、（ 2013 高考）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）

. . .

.

已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8 ，则 x, y

的值分别为（ ）

A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8

练习：（2012 高考）从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货

机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示，设甲乙两组

数据的平均数分别为 x甲 和 x乙 ，中位数分别为 m甲 和 m乙 ，则

（ ）

考点三、频率分布直方图

考点四、回归分析与独立性检验

. . .

.

. . .

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