2009 学年第 2 学期 考试科目：多元统计分析
考试类型：（闭卷） 考试时间： 100 分钟
学号 姓名 年级专业
一、填空题（ 5×6=30）
1、设X ~N2( ,
),其中 X
( x1 , x2 ),
( 1, 2),
2
1
,
1
则 Cov( x1
x2 , x1
x2 )=____.
10
2、设
X i
~ N 3
( , ), i
1,L ,10,
则 W =
( X i
)( X i)
i
1
服从
_________
。
4 4 3
3、设随机向量 X x1 x2 x3 , 且协方差矩阵 4 9 2 ,
3 2 16
则它的相关矩阵
R
___________________
4、
设 X= x1
x2
x3
,
的相关系数矩阵通过因子分析分解为
1
2
1
3
3
0.934
0
0.934
0.417
0.128
R
1
0
0.417
0.894
0.835
1
0
0.894
0.027
3
0.835
0.447
0.447
2
1
0.103
0
3
X1的共性方差 h12
__________ ， X1的方差
11
__________ ，
公因子 f 1对 X的贡献 g12
________________ 。
5、设 X i , i 1,L
,16 是来自多元正态总体
N p (
, ), X 和 A分别为正态总体N p ( ,
)
的样本均值和样本离差矩阵 , 则
T 2
15[4( X
)] A
1[4( X)] ~ ___________
。
二、计算题（ 5×11=50）
16
4
2
、设
( x1 , x2 , x3) ~ N3
(
, ),
其中
(1,0, 2) ,4
4
1 ,
1X
2
1
4
试判断 x1
2 x3与 x2 x3
是否独立？
x1
2、对某地区农村的
6 名 2 周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，
得相关数据如下 , 根据以往资料 , 该地区城市 2周岁男婴的这三个指标的
均值
0
(90,58,16)
, 现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男婴是
否与城市男婴有相同的均值。
82.0
4.3107
14.6210
8.9464
其中 X
60.2 ,(5 S ) 1
( 115.6924)
1
14.6210
3.172
37. 3760
14.5
8.9464
37.3760
35.5936
(
0.01,
F 0.01 (3, 2)
99.2,
F 0.01 (3,3)
29.5,
F0.01 (3, 4)
16.7)
、设已知有两正态总体
G与 G，且
1
2
，
2
4
，
1
2
1
1
，
3
1
2
6
2
1
9
而其先验概率分别为
q1
q2
0.5,
误判的代价
C(2 1)
4
；
e ,C(1 2)
e
试用
判别法确定样本
X
3
属于哪一个总体？
Bayes
5
1
4、设
X
(X1,X2, X3,X4 )
T
，协方差阵
1
1
1
试从Σ出发求 X 的第一总体主成分；
试问当取多大时才能使第一主成分的贡献率达95％以上。
、设
T
,Y (Y1, X2)
T 为标准化向量，令
Z
X
,
且其协方差阵
5
X (X1,X2)
Y
100
0
0
0
11 12
V( Z)
21 22
0 1 0.95 0
0 0.95 1 0
，
0 0 0 100
求其第一对典型相关变量和它们的典型相关系数？
三、证明（ 7+8=15）
1、设随机向量 X的均值向量、协方差矩阵分别为
、 ,
试证： E( XX )
。
2、设随机向量 X ~ N P (
, ), 又设 Y=Ar pX+br 1 ,
试证： Y
~ Nr ( A b, A
' 。
A )
华南农业大学期末试卷（ A ）答案
一、填空题
1、 0 2、W 3（ 10，∑） 3、
1
2
1
3
4
2
1
1
R
6
3
1
1
1
4
6
4、 0.872 1 1.743
5、 T 2（ 15， p）或（ 15p/(16-p) ） F（ p， n-p）
二、计算题
、令
x2
x3
x1
2x3 ,
则
1
y1
x1
, y2
y1
x2
x3
0
1
-1
x1
x1
1
0
0
x2
y2
x1
2x3
1
0
2
x3
y1
0
1
-1
1
2
1
0
0
0
1
E
y2
1
0
2
2
3
y1
01-1
16
4 2
01-1
1
0
0
4
4
1
1
0
0
V
y2
1
0
2
2
1
4
1
0
2
10
6
16
6
16
20
16
20
40
2
10
6
16
故y1，y2的联合分布为 N3 (
1 ,
6
16
20 )
3
16
20
40
故不独立。
、假设检验问题：
H 0 :
，
0
2
0
H1 :
8.0
经计算可得： X
0
2.2
,
1.5
4.3107
14.6210
8.9464
S 1
(23.13848) 1
14.6210
3.172
37.3760
8.9464
37.3760
35.5936
构造检验统计量： T 2
n( X
0) S 1(X
0 )
6
70.0741
420.445
由题目已知
F0.01
(3,3)
，由是
29.5
T02.01
3
5
F0.01 (3,3)
147.5
3
所以在显著性水平
下，拒绝原设
H 0
0.01
即认为农村和城市的
周岁男婴上述三个
2
指标的均值有显著性差异
3、由 Bayes判别知
W ( x)
f1 (x)
exp[( x
)T
1 (
1
2 )]
exp(4x1
2x2
4)
f2 (x)
其中，
1
(
12 )
3
? 1
1
9
1
%
%
2
4
2
2
,
8
1
,(
1
)
6
2
4
4
1
d
q2 C(1| 2)
e3 ,W ( x
3
exp(2)
d
e3
)
q1C(2 |1)
5
3
X G2
5
1
、(1) 由
1
得特征根为
1
1 3 ,
1
1
2
3
4
1
1
x1
解
1 所对应的方程
1
x2
0
1
x3
1 x4
得
1 所对应的单位特征向量为
1
1
1
1
2
2
2
2
故得第一主成分
1
1
1
1
2 X1
2 X 2
2 X3
2 X 4
Z
第一个主成分的贡献率为
1
1
3
95%
1
2
3
4
4
得
0.95
4
1
0.933
3
5、由题得
－1
T 2
TT 11
1
＝
0.1
0
1
＝
1
0
－
－
0
1
0
0.1
1
－1
12
21
2
22
11
＝
0.1
0
0
0
1
0
0
0.95
0.1
0
0
0
0
1
0.95
0
0
0.01
0
0
0
1
0
0.9025
求 TT T的特征值，得
0
0
0
2
0.9025
0.9025
2
0.9025,
2
0
0.95
1
2
1
TT T的单位正交化特征向量
0
0
e1
0.9025e1,
0
0.9025
1
0.1
0
0
0
112 e1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
22
21
1
1
1
0
0
0.95
0
1
0.95
0
0.1
0
0
1
0
V1
X 2,W1
0.54Y1
为第一典型相关变量，且（ V1 ,W1） 0.95为一对典型相关系数。
三、证明题
1、证明： =V(X ) E[(X EX)(X EX)]
E(XX ) (EX)(EX)
E(XX )
故E( XX )
2、证明 : 由题可知 Y服从正态分布，
E(Y)
E(AX
b)
AE( X ) b
A
b
V (Y)
V (AX
b)
AV (X )A
A A'
故
Y ~ N r ( A
'
。
b, A A )
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